Bertrand Russell se guió en esta obra por el más ajustado sentido de la unidad histórica y estudió a cada filósofo en relación con el medio en que actuó, teniendo siempre en cuenta las circunstancias sociales y políticas de su época. En este primer volumen se analizan la filosofía presocrática, las aportaciones de Sócrates, Platón y Aristóteles, la filosofía helenística y a los Padres de la primera filosofía católica. Jesús Mosterín analiza en su Prólogo la trayectoria biográfica y la evolución (...) del pensamiento de este gran filósofo: su rebelión contra el idealismo vigente; el desarrollo del logicismo aplicado a las matemáticas y al conocimiento empírico; su faceta de filósofo práctico y su trabajo en la historia de la filosofía que tendrá como resultado esta obra. (shrink)

En el mundo occidental, la primera figura que encarna el arquetipo del mediador sapiencial entre la comunidad humana y lo divino es, sin duda, Pitágoras de Samos. Las implicaciones de las doctrinas de este chamán en la historia de las ideas son enormes, pues sus invenciones abarcan todos los campos del saber: matemáticas, astronomía, filosofía, retórica, política, adivinación, medicina y religión. Nada escapa a este sabio griego, al que se atribuye un famoso teorema matemático, las escalas musicales y (...) la idea de la inmortalidad del alma. La primera parte del libro se ocupa de estudiar a Pitágoras como figura carismática y legendaria, la colección de sus enseñanzas, sus aspectos mánticos y políticos y, finalmente, la tradición pitagórica entre la realidad y la falsificación. En la segunda parte se presenta por primera vez, en una nueva traducción anotada, una recopilación de todas las biografías del filósofo: las escritas por Porfirio de Tiro, Jámblico de Calcis y Diógenes Laercio, y, como novedad, la más antigua que se conserva, redactada por el historiador griego Diodoro de Sicilia (s. I a.C.), y la del patriarca Focio de Constantinopla (s. IX). Todo ello, junto a la colección de máximas pitagóricas de origen tardío, llamada Versos de oro, así como el epítome de la enciclopedia bizantina Suda (s. X), forma el presente corpus biográfico-doctrinal de Pitágoras, que era una labor pendiente en el panorama bibliográfico español. David Hernández de la Fuente (Madrid, 1974) es escritor y profesor universitario, especializado en religión griega, antigüedad tardía e historia del platonismo. Doctor en filología clásica y sociología, es autor de los ensayos Oráculos griegos (Alianza) y Bakkhos Anax (CSIC), así como de numerosos artículos en revistas académicas y ediciones de autores clásicos, y ha coordinado la obra colectiva New Perspectives on Late Antiquity (Cambridge Scholars Pub.). Como autor de narrativa ha publicado Las puertas del sueño (Premio de Arte Joven 2005 de la Comunidad de Madrid), Continental (2007) y A cubierto (Premio Diputación de Valencia 2010). Memoria mundi 59 Isbn: 978-84-938466-6-4 440 páginas. (shrink)

This is the Spanish translation, by Valeria Sol Valiño, of Rudolf Carnap’s classical text “Die logizistische Grundlegung der Mathematik”, which was originally presented at the Königsberg’s Symposium on Philosophy of Mathematics in 1930, and finally published in Erkenntnis in 1931.

This is the Spanish translation, by María Gabriela Fulugonio, of Arend Heyting’s classical text “Die logizistische Grundlegung der Mathematik”, which was originally presented at the Königsberg’s Symposium on Philosophy of Mathematics in 1930, and finally published in Erkenntnis in 1931.

En este trabajo analizaremos la concepción de Leibniz acerca de la aplicación de la matemática a la física entre los años 1677 y 1690. Reconstruiremos esta concepción fundamentalmente a partir de algunos conceptos relacionados, como son los de “atributos” o “cualidades acompañantes”. Veremos que, por aplicación de la matemática a la física, Leibniz entendió específicamente la posibilidad de dar explicaciones mecánicas que dan cuenta de la causa inmediata e inteligible por la cual tienen lugar las cualidades confusas, en un sentido (...) que debe ser dilucidado. Estas explicaciones revelan, por lo tanto, la estructura _a parte rei_ a partir de la que tienen lugar las sensaciones. (shrink)

En las dos entregas anteriores abordamos el inicio de la evolución del pensamiento matemático, desde el uso de herramientas matemáticas para problemas de cálculo concreto en la antigua Babilonia, pasando por el inicio de las matemáticas abstractas, las demostraciones y el nacimiento de la “geometría por la geometría” desde la visión religioso-filosófica de Platón y los pitagóricos, hasta la síntesis de ambas visiones en las matemáticas de la India, China y el mundo árabe, que fue la puerta (...) de entrada de las matemáticas a Europa, alrededor del siglo XV. (shrink)

En 1931 Gödel publica su Teorema de incompletud. Resultado clave en Lógica matemática, se interpretó como una limitación de los formalismos, un fracaso del Programa de Hilbert. Sin embargo, el método de aritmetización, la recursividad han propiciado una visión positiva y la creación de nuevas teorias - Teorías de la Complejidad, de Información algorítmica... -. Con ellas, nuevas demostraciones del teorema y, consecuentes, nuevas discusiones en Filosofía de la Matemática. En especial, desde la Teoría de la Complejidad. Además de incompleta, (...) la Matemática se ve por algunos como aleatoria y experimental. En este ensayo se pretende explicitar los supuestos de estas interpretaciones. Discusión que conduce, en principio, a su rechazo, dejando abierta la problemática sobre el aspecto epistemológico dei razonamiento matemático. (shrink)

Our aim in this paper is to propose an ontology for numbers that is compatible with an epistemology that does not invoke mysterious faculties. On the basis of my explanatory system, we find objects capable of being classified: horses, colors, etc. Once grouped, they can be reclassified in units, pairs, and so on. When they use expressions like “three horses”, in fact, I believe that what they mean is “a threesome of horses”. I call nonmathematical numbers those reclassification, and I (...) suggest that arithmetical numbers could be regarded as pictures of nonmathematical numbers, that are closely connected with empirical facts. (shrink)

En este estudio, en el que hemos tomado como centro de referencia el catálogo (ai-Fihrist) del erudito musulmán del siglo X de nuestra era Muhammad Ibn Ishak an-Nadí'm, nos proponemos trazar, en primer lugar, las líneas del desarrollo del pensamiento matemático y del pensamiento astronómico en el mundo del Islam desde el siglo VIII hasta el siglo XVII; y, en segundo lugar, y al hilo de nuestra traducción al texto de Ibn an-Nadí'm, indicar en lo posible y de acuerdo a (...) las investigaciones más recientes, los aportes individuales de los matemáticos y astrónomos que vivieron entre Jos siglos VIII y IX de la era cristiana. Con ello pretendemos ofrecer un capítulo casi olvidado de algunos aspectos del cultivo de la ciencia en un determinado período de su historia dentro de un determinado ámbito cultural a partir de sus propias fuentes. Asimismo, pretendemos dar un balance del estado actual de las investigaciones en este campo con el fin de llamar la atención sobre el profundo cambio de perspectivas que se está realizando en la historia de la ciencia2 y que, en Jo tocante al legado musulmán, encuentra su punto de giro en la obra del gran erudito turco, profesor de la Universidad de Frankfurt, Fuad Sezgin•. (shrink)

La historia de la matemática muestra como la intuición matemática ha estado presente en la invención y desarrollo de conceptos, teorías y procedimientos matemáticos. Así mismo, ha permeado el debate filosófico, los fundamentos de la matemática y los discursos educativos; otorgándole vigencia al estudio de este tema. En el presente artículo, se exponen los argumentos bajo los cuales es posible sustentar que la intuición es un proceso, que toma ideas que se presentan, inicialmente de manera “desordenada”, y que gracias (...) al contexto y los conocimientos previos del individuo las centran en una idea “fija” que será incorporada a la matemática por la lógica y la formalización. (shrink)

La investigación sobre leyes de la naturaleza constituye una de las aventuras del intelecto humano en su esfuerzo primigenio por entender la realidad y nuestro lugar en ella. En la primera parte del libro expondremos la aproximación biográfica que motiva nuestra investigación (capítulo 1). La segunda parte examina los orígenes históricos del imaginario de leyes de la naturaleza que se remontan a la filosofía natural de la época de Descartes y Newton (capítulos 2 y 3). La tercera parte sistematiza el (...) debate estándar en filosofía de las leyes de la naturaleza, que se ha consagrado en las concepciones humeanas y anti-humeanas, en donde las primeras sostienen que las leyes son meros enunciados de regularidades (capítulo 4), mientras que las segundas afirman que ellas corresponden a alguna clase especial de necesidades naturales (capítulos 5 y 6). En la cuarta parte propondremos nuevas perspectivas sobre las leyes de la naturaleza que escapan al debate estándar. Examinaremos el problema de Wigner acerca de la efectividad de las matemáticas en la formulación de leyes físicas (capítulo 7), elaborando la concepción inferencial de las leyes que ofrece una respuesta al problema wigneriano (capítulo 8). Asimismo, indagaremos el carácter modal de las leyes de la naturaleza (capítulo 9) y el supuesto metafísico que afirma que la realidad tiene una estructura, que ha sido asociada a las leyes (capítulo 10). Finalmente, en la quinta parte del libro cerraremos nuestra investigación elaborando el eliminativismo nómico, que nos insta a abandonar el imaginario de leyes de la naturaleza tanto en ciencias como en nuestra interpretación filosófica de las mismas (capítulos 11 y 12). (shrink)

This volume of Metatheoria includes translations into Spanish of the three famous papers on the schools in foundations of mathematics, logicism, intuitionism and formalism, presented at the Königsberg’s Symposium on Foundations of Mathematics in September 1930 and finally published in the journal Erkenntnis in 1931. The three papers constituted a milestone in the Philosophy of Mathematics of the last century. In this introduction to the translations, the editors of the volume outline the historical context in which the original papers were (...) conceived and they include some details concerning their original publication. They also stress the decisive role played by the papers in the philosophy of mathematics in the last century. A summary of them is provided and the underlying ideas of the Vienna Circle on the nature of mathematics and the impact of Gödel theorems in the foundations programs are discussed. Moreover, they briefly introduce the original contributions to the volume that follow the translations. (shrink)

Los intereses del ingeniero y filósofo chileno Manuel Atria Ramírez recorren una variedad de temas y disciplinas, pero es en la filosofía de las matemáticas y de la física donde se centra una porción importante de su obra publicada. Tras una primera fase de juventud, de manifiesta impronta tomista, su pensamiento de madurez acusa el influjo de las grandes escuelas epistemológicas que prosperan durante la primera mitad del siglo XX. Además de ilustrar la recepción que se le daba por (...) aquellos años en el medio académico latinoamericano a las nuevas tendencias filosóficas europeas, pensamos que el conciso estilo expositivo del autor y su comprensión profunda de la físico-matemática y de su historia, tienen el mérito de plantear con frescura y originalidad la pregunta referida al fundamento último de las matemáticas, y de su vinculación con la realidad. En este artículo presentamos y analizamos las principales directrices de la propuesta epistemológica de Atria, e identificamos algunos puntos abiertos a investigaciones ulteriores. (shrink)

El nuevo imaginario social del conocimiento teórico del siglo XVIII, que, entre otros rasgos, contenía el de la utilidad del saber, comportó un cambio semántico en el término «filosofía», estrechamente relacionado con la enseñanza, tras ser desplazado por el de «ciencia». En las universidades se impartían las ciencias filosóficas, de tradición escolástica, enfocadas, fundamentalmente, a formar a funcionarios del Estado y la Iglesia, pero las nuevas ciencias matemáticas y naturales requerían ocupar un lugar en la enseñanza para instruir a (...) la sociedad civil. Los ilustrados españoles, entre otros, Jovellanos, concibieron entonces dos tipos de centros, unos para las primeras, que siguieron siendo las universidades, mientras que para las segundas propusieron instaurar institutos específicos. En cambio, los liberales, y, en particular, Quintana, decidieron unificar la enseñanza de las ciencias en centros únicos, las universidades de provincia y una de nueva creación, la Universidad Central. Las ciencias filosóficas fueron entonces marginadas, como la lógica, sustituida por la matemática como ciencia instrumental fundamental, y la metafísica, que fue abandonada. (shrink)

"A theoretical juice extractor: The role of mathematics in scientific explanation". There have recently been proposed cases where, supposedly, mathematics would play a genuinely explanatory role in science. These have been divided into those situations where the explanatory role would be played by mathematical operations, and those where it would be played by mathematical entities. In this article, I analyze some of these purported cases and argue that claims that mathematics can be genuinely explanatory are unfounded. Throughout my discussion, I (...) emphasize the representational role of mathematics, as opposed to its supposed explanatory role: the role of mathematics, even in the cases that I discuss, is to represent physical facts and help draw inferences about those facts. (shrink)

Este artigo relata um estudo que examina os livros didáticos usados ​​pelas escolas na área Sámi, na Noruega. Os Sámi são povos indígenas da Noruega e de países vizinhos (Finlândia, Rússia e Suécia). O artesanato e a criação de renas são atividades predominantes na cultura Sámi. Baseando-se na teoria da fenomenologia didática, o estudo examina a relevância das tarefas dos livros didáticos para a formação cultural das crianças indígenas. A análise documental foi utilizada para extrair e analisar os dados dos (...) livros didáticos antigos e novos. Os resultados indicam que as tarefas do antigo livro didático são pouco relevantes para a cultura Sámi. Embora o antigo livro didático tivesse tarefas que poderiam ser adotadas, o tópico contendo tais tarefas não está mais disponível no novo livro didático. A adopção de tais tarefas poderia ter ajudado a alcançar o objectivo estabelecido no novo currículo sobre o ensino da história e da cultura Sámi a todas as crianças norueguesas. Também poderia ter ajudado a alcançar outro objetivo, que é o da interdisciplinaridade, porque as tarefas tratam da linha do tempo na história norueguesa. O estudo tem implicações. Além de utilizar as tarefas dos estudos já disponíveis sobre os Sámi, precisamos de mais estudos sobre a concepção de tarefas que utilizem o contexto cultural Sámi. Além disso, a adoção de tarefas que utilizem contextos indígenas semelhantes ao contexto Sámi também deve ser considerada, em vez de uma mera tradução do livro obrigatório para a língua indígena. Outra opção é, de acordo com estudos anteriores, elaborar um livro didático separado para as crianças indígenas com base na sua cultura. Palavras-chave: currículo de matemática, cultura indígena, medição, livro didático. (shrink)

En la formación inicial docente, el estudio de la epistemología constituye una pieza fundamental para que los futuros profesores puedan filosofar sobre la realidad de los diversos contextos educativos y se pregunten cómo mejorarla desde los principios que rigen la investigación científica. De este modo, gracias al sustento epistemológico, los estudiantes de pedagogía pueden formarse como docentes investigadores capaces de analizar los cambios sociales propuestos por las múltiples realidades y conocer cómo se construye el conocimiento científico de una especialidad dada. (...) La finalidad de este trabajo, es presentar una reflexión filosófica-epistemológica sobre la imperiosa necesidad de desarrollar el conocimiento epistemológico en la formación inicial del profesorado de matemática e historia, considerando los fundamentos disciplinares, pedagógicos y cognitivos de dichas áreas. (shrink)

El problema fundamental para que la Teoría de la relatividad pueda ser acorde con la filosofía de Kant es el de la utilización de una geometría no euclídea. Que sus principios sean interpretados como juicios sintéticos a priori es, a nuestro entender, un problema secundario. Si queremos que los principios de una ciencia de la naturaleza sean universales y necesarios sin recurrir a dogmatismos, no queda otra posibilidad que entenderlos trascendentalmente. Como se observa en el principio de relatividad, Einstein también (...) pensaba que las leyes físicas son universales y necesarias. Sin embargo, su perspectiva fue más racionalista que crítica. Sea como fuere, si los principios de la Teoría de la relatividad son a priori y enlazan sintéticamente la experiencia posible, esta teoría nos servirá para entender que las geometrías no euclídeas no son ajenas a los planteamientos de Kant, si bien requieren dar un rodeo epistemológico. La doctrina que nos permite fundamentar las geometrías no euclidianas desde la filosofía de Kant la llamamos “Álgebra de la experiencia”.The main problem for the Theory of the relativity to be in agreement with the Kant´s philosophy is the use of a non-Euclidean geometry. The fact that their principles could be interpreted a priori as synthetic trials is, in our opinion, a secondary problem. If we want that the principles of a science of the nature would be universal and necessary ones without appealing to dogmatisms, then, he have to understand them transcendentally. As in the principle of relativity it is observed, Einstein also thought that the physical laws are universal and necessary ones. However, their perspective was more rationalistic than critic. In any case, if the Theory of Relativity principles are a priori and they synthetically connect the possible experience, then, this theory will allow us to understand that the non-Euclidean geometries are not far away from the Kant´s positions, although they require to made a epistemological turn around. The principle that allows us to base the geometries non Euclidian from the Kant´s philosophy is called “Algebra of the experience”. (shrink)

El objetivo del presente artículo consiste en analizar el trasfondo de las matemáticas empleadas por Aristóteles en el libro V de la _Ética a Nicómaco_ con el propósito de esclarecer las nociones de aritmética y geometría en relación con la justicia y la ética. Expongo brevemente la concepción de algunos estudiosos de Aristóteles que proponen una incompatibilidad radical entre ambos modelos matemáticos, y a partir de ello indico por qué esa lectura es equivocada. Finalmente, defiendo una interpretación integracionista, especialmente (...) a partir de la comprensión de la virtud como _enérgeia_ y _entelécheia_. (shrink)

En el marco de la filosofía de las matemáticas contemporáneas, Hellman y Awodey sostienen un debate acerca del rol de la Teoría de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) y la Teoría de Categorías (TCat) en la perspectiva de una buena fundamentación estructuralista para las matemáticas. Según Hellman, ni ZF ni TCat constituyen un buen marco fundacional para las matemáticas; sin embargo, su punto central en este debate es que TCat no logra una autonomía, en sentido fuerte, respecto a (...) ZF, y, además, sostiene que la tesis de Awodey, favorable a TCat, es inevitablemente una tesis fundacionalista. Desde la otra orilla, Awodey sostiene que la noción categórica de estructura no es fundacional, pero sí constituye la mejor opción para interpretar las matemáticas de manera integral y articulada. De esta manera, pone en cuestión el ideal fundacionalista conjuntista. El objetivo del presente artículo es poner de relieve los aspectos filosóficos centrales de esta polémica, fijar algunas posiciones en relación con la misma y mostrar algunas consecuencias relevantes para la filosofía de las matemáticas. (shrink)

La reciente publicación de Ilustración, progreso, modernidad, aparece como una excusa para volver a dar cuenta de la relevancia de la historia de los conceptos como parte vital de nuestras formas de investigar el pasado. Para ello conviene empezar por situar los tres conceptos que la edición ha tenido en cuenta, entendiéndolos como conceptos útiles para la comprensión de lo que representa la Sattelzeit. Una vez ello nos ha permitido dar cuenta de los principales alementos del enfoque koselleckiano, tendremos (...) en cuenta las críticas que el enfoque recibe desde otras formas de concebir la historia del pensamiento político. Por último, conectaremos la Begriffsgeschichte con la propuesta del contextualismo de Cambridge. (shrink)

La obra pretende aunar la reflexión estética y el ejercicio de la crítica de arte a través de la mirada histórica. La primera parte tiene como hilo conductor cuestiones básicas relativas a la estética francesa del XVIII, entre el ámbito del gusto y el contexto de la belleza, entre la calificada como estética de la ratio y la estética de la "delicatesse". La segunda se centra en la teoría del arte, atendiendo a aspectos concretos del hecho artístico, matizados a su (...) vez entre la observación histórica y el pensamiento contemporáneo. (shrink)

Se presenta la traducción de un trabajo redactado por W. V. O. Quine para la asignatura sobre Psicología avanzada, impartida por el profesor John Beebe-Center en Harvard. Se trata de un texto inédito que Quine entregó en la primavera de 1931. En este escrito se demuestra un conocimiento exhaustivo del estado de la entonces joven disciplina psicológica, de sus nombres más relevantes y de sus escuelas más sobresalientes en la época. El primer y último apartados contienen elementos de interés historiográfico (...) y filosófico para los expertos e interesados en el pensamiento de Quine. Los apartados segundo y tercero muestran el dominio de la materia desde distintos puntos de vista diferentes, a saber: la óptica, la fisiología ocular, la psicología de la percepción y, por supuesto, la historia de la filosofía que subyace a los planteamientos de las distintas escuelas psicológicas. Se presenta acompañado de una introducción que vincula las ideas que aparecen en este trabajo con cuestiones relevantes en la actualidad para la Filosofía de la Psicología y la Neurociencia computacional en su debate con el Naturalismo. (shrink)

Resumen: En este artículo se presenta una interpretación de las tesis fundamentales de Hegel en la Fenomenología del Espíritu acerca de la relación entre tiempo, historia y filosofía especulativa o ciencia. Para Hegel la formación de la conciencia individual hacia la ciencia se conecta con la histor..

En estos tiempos de orgía cultural generalizada, Biblioclasmo es un texto producto de una tradición escéptica; un tratado de «filología negativa»; un ejercicio de controversia, plagado de consideraciones intempestivas.

En esencia el proceso de enseñanza-aprendizaje e investigación en Historia sigue siendo el mismo de siempre, sin embargo la llegada de las nuevas tecnologías permite que puedan desarrollarse con más amplitud y profundidad algunos de los aspectos relacionados tanto con la adquisición de habilidades propias de la Historia como de una mayor extensión y profundización en las investigaciones históricas.

Este artículo examina la rica textura de los themata de Holton. Holton argumenta que dentro de las normas racionales establecidas hay espacio para elementos subjetivos, incluida la imaginación científica. Sostiene que estas influencias entre pares, conocidas como themata, no solo no obstaculizan el progreso científico, sino que también sirven como un conducto para nuevos descubrimientos científicos. El objetivo del artículo es obtener una comprensión integral de su impacto en la academia y la investigación científica, investigando su posible convergencia o divergencia (...) con otros marcos cognitivos en la filosofía de la ciencia, como las categorías de Kant, los paradigmas de Kuhn y los programas de investigación de Lakatos. Al comparar los themata con estos marcos bien establecidos comúnmente utilizados para desentrañar el conocimiento y la investigación científica, este estudio tiene como objetivo aclarar posibles confusiones y profundizar nuestra comprensión de la influencia a menudo pasada por alto o subestimada ejercida por los themata en la ciencia. En un sentido específico, esta investigación destaca el papel vital desempeñado por la imaginación y las estructuras de pensamiento preexistentes en la formulación y avance de teorías científicas. A través de este análisis, se proporciona una comprensión integral de la esencia de los themata, destacando la importancia de reconocer y comprender los themata como componentes esenciales de la investigación científica en ciertos momentos. Como resultado, esta investigación refuerza la validez de la afirmación, objeto de debate continuo, de que los datos empíricos, la experiencia matemática o el razonamiento lógico por sí solos no pueden suplantar a estos componentes integrales. (shrink)

En este artículo se examina de qué manera conceptos en parte comunes y en parte opuestos en Hegel y Ricoeur pueden contribuir a una filosofía práctica, y, en particular, a una ética aplicada, en diálogo interdisciplinario con los saberes que a Ricoeur le merecieron especial atención a lo largo del desarrollo de su pensamiento: la psicología, la historia, el derecho, la política, la teología. Primero se presenta un marco general en torno a los conceptos de razón práctica, conciencia moral (...) y reconocimiento, para después abordar cuestiones más específicas relacionadas con algunas de las disciplinas particulares en las que se emplean estos y otros conceptos en el marco de una reflexión ética aplicada. (shrink)

Partiendo de una reflexión sobre los distintos modos de nombrar el seguimiento de Cristo y de algunas de las principales formas en que se ha concretado en el Ife del cristiano a lo largo de la historia (martirio, vida monástica, vida contemplativa, vida activa, etc.), llegamos a las Sociedades de Vida Apostólica, como un camino original y genuino, cuya primera manfestación se encuentra en el Oratorio de San Felipe Neri. En las dos notas siguientes (pp. 579-602 y 603-618) se (...) hace una breve descripción histórica sobre este peculiar santo, señalando, al mismo tiempo, los rasgos más distintivos de su espiritualidad y de su obra. (shrink)

En este ensayo presento un análisis comparativo entre los diversos procedimientos creados, respectivamente, por los matemáticos babilonios y Diofanto de Alejandría para resolver ecuaciones de segundo grado. Observaremos cómo los primeros recurrieron a la composición de diagramas mientras Diofanto aplicó un algoritmo abstracto que no consiguió generalizar.In this paper I present a comparative analysis among the diverse procedures invented respectively by the Babylonian mathematicians and Diophantus of Alexandria to solve quadratic equations. We will observe how the first ones appealed to (...) the composition of diagrams while Diophantus applied an abstract algorithm that he was not able to generalize. (shrink)