En perspectiva kantiana, la posibilidad del conocimiento surge de la conjunción o unidad sintética de la espontaneidad del entendimiento (categorías) con las formas a priori de la sensibilidad. La tarea es entender cómo se efectúa esa conjunción o unidad sintética analizando cada una de sus condiciones por separado y en su conjunto. En la Crítica de la razón pura, específicamente en el apartado “Del esquematismo de los conceptos puros del entendimiento” (A 137–147/B 176–187) se muestra este mecanismo. Teniendo en mente (...) esta discusión, este trabajo tiene los siguientes objetivos: en primer lugar, presentar la problemática del esquematismo trascendental; en segundo lugar, describir cómo ocurre la construcción esquemática de los conceptos geométricos y, finalmente, especificar el lugar que ocupa el álgebra en la filosofía kantiana de las matemáticas. (shrink)

El problema fundamental para que la Teoría de la relatividad pueda ser acorde con la filosofía de Kant es el de la utilización de una geometría no euclídea. Que sus principios sean interpretados como juicios sintéticos a priori es, a nuestro entender, un problema secundario. Si queremos que los principios de una ciencia de la naturaleza sean universales y necesarios sin recurrir a dogmatismos, no queda otra posibilidad que entenderlos trascendentalmente. Como se observa en el principio de relatividad, Einstein (...) también pensaba que las leyes físicas son universales y necesarias. Sin embargo, su perspectiva fue más racionalista que crítica. Sea como fuere, si los principios de la Teoría de la relatividad son a priori y enlazan sintéticamente la experiencia posible, esta teoría nos servirá para entender que las geometrías no euclídeas no son ajenas a los planteamientos de Kant, si bien requieren dar un rodeo epistemológico. La doctrina que nos permite fundamentar las geometrías no euclidianas desde la filosofía de Kant la llamamos “Álgebra de la experiencia”.The main problem for the Theory of the relativity to be in agreement with the Kant´s philosophy is the use of a non-Euclidean geometry. The fact that their principles could be interpreted a priori as synthetic trials is, in our opinion, a secondary problem. If we want that the principles of a science of the nature would be universal and necessary ones without appealing to dogmatisms, then, he have to understand them transcendentally. As in the principle of relativity it is observed, Einstein also thought that the physical laws are universal and necessary ones. However, their perspective was more rationalistic than critic. In any case, if the Theory of Relativity principles are a priori and they synthetically connect the possible experience, then, this theory will allow us to understand that the non-Euclidean geometries are not far away from the Kant´s positions, although they require to made a epistemological turn around. The principle that allows us to base the geometries non Euclidian from the Kant´s philosophy is called “Algebra of the experience”. (shrink)

Desde el punto de vista de Frege, la expresión "teoría formal de la aritmética" puede designar dos concepciones muy diferentes, de las cuales él defendió una con tanto ardor como combatió a la otra. La segunda es la concepción formalista vulgar, según la cual, en aritmética "los signos son vacíos y constituyen ellos mismos los números. La primera es la que atribuye a la aritmética un carácter "formal", en el sentido de "puramente lógico" que la distingue radicalmente de la (...) class='Hi'>geometría y la aproxima a la lógica propiamente dicha. (shrink)

En su ópera prima, antes de concebir la filosofía crítica, Kant manifestó su entusiasmo por una geometría de todos los tipos posibles de espacio, y no sólo del espacio conocido. Como el filósofo atribuye cada espacio a un mundo posible distinto, la "geometría suprema", como la denominó, en realidad sería el nombre genérico para un conjunto de geometrías diversas que describen espacios igualmente diversos. En ese conjunto genérico se encuentra la geometría de Euclides, y cabe preguntarse si (...) acaso entre las otras especies no podrían hallarse las geometrías que hoy conocemos como no-euclídeas. Creemos que no es así, y es lo que nos proponemos mostrar en este trabajo. Sostendremos, por lo tanto, la distinción entre las denominaciones "otras geometrías" y "geometrías no-euclídeas" y desarrollaremos la incompatibilidad entre ambas tal como ésta se sigue de los textos de Kant. Intentaremos asimismo caracterizar las "otras geometrías" según la noción de "espacio habitado", por nosotros o por los eventuales habitantes de otros universos posibles. Así, las "otras geometrías" quizá podrían ser comprendidas mejor como geometrías de los otros (de la alteridad), que como anticipación de las geometrías no-euclídeas. (shrink)

Há muitos pontos de concordância entre Frege e os neokantianos. Isso vale especialmente para os representantes do neokantismo da teoria do valor ou do Sudoeste alemão na tradição de Hermann Lotze. Não discutiremos aqui todos os aspectos dessa proximidade; de acordo com o tema que propomos, ficaremos restritos à filosofia da matemática. A primeira parte do artigo tratará da relação entre aritmética e geometria, mostrando surpreendentes semelhanças entre Frege e o neokantiano Otto Liebmann. A segunda parte discutirá as diferentes recepções (...) do logicismo de Frege por Jonas Cohn, Paul Natorp, Heinrich Rickert, Ernst Cassirer e Bruno Bauch. (shrink)

O caráter protocolar desempenhado pelas matemáticas na formulação do conceito cartesiano de ciência é amplamente difundido e frequentemente reinvocado na literatura especializada quando se trata de abordar a exigência apodítica inerente a este conceito. No entanto, pouco se explora o que a diversidade das disciplinas matemáticas bem como a relação entretida por elas permite trazer de elucidação à noção cartesiana de ciência. Nosso propósito consiste, aqui, em tomar posição quanto a um debate acerca do estatuto da álgebra e da geometria (...) como disciplinas que fixam os lineamentos da teoria cartesiana do conhecimento ao exibirem o que Descartes reputaria como a aplicação ideal do intelecto. Trata-se de insistir, por vias que assinalam uma decisão teórica em favor de uma concepção mais intelectualista e menos imaginativa da ciência, que não há hesitação quanto ao papel primitivo e fundacional da álgebra se comparada à geometria. (shrink)

Noticia del texto El escrito cuya traducción el lector tiene entre sus manos nunca llegó a publicarse en vida de Kant, sino años más tarde por obra de Dilthey (1889). Fue redactado en el contexto de una polémica intelectual que, por ese entonces, agitaba la vida académica alemana. En efecto, luego de la publicación de la Crítica de la razón pura en 1781, las reacciones –tanto positivas como negativas– no se hicieron esperar. Entre las negativas se cuenta la de Johann (...) August Eberhard (1739-1809), férreo defensor de Leibniz y Wolff, quien edificó una trinchera en contra del kantismo desde la Universidad de Halle. Para estos fines, fundó la Philosophisches Magazin (1788-1792), órgano destinado a difundir las ideas en contra del filósofo crítico. En 1790, Kant respondió a estos ataques publican do el escrito Über eine Entdeckung nach der alle neue Kritik der reinen Vernuft durch eine ältere entbehrlich gemacht werden soll ( Ak. VIII ) 1 y dio la disputa por terminada. En lo que respecta al texto que hemos traducido, ocurre que, en la cuarta sección del tomo segundo de la Philosopisches Magazin (1790), se publicaron tres artículos del matemático alemán Kästner (1719-1800): “¿Qué significa “posible” en la geometría euclideana?” ( cf. 391-402), “Sobre el concepto matemático del espacio” ( cf. 403-419) y “Sobre los axiomas geométricos” ( cf. 420-430). Estos artículos tenían el objetivo de demostrar la superioridad de la postura de Eberhard. Sin embargo, en un osado movimiento, Kant redacta (también en 1790) una recen sión argumentando que, por el contrario, las afirmaciones de Kästner le dan la razón a él y no a Eberhard. (shrink)

Reseña de: Scaglia, L., Kant’s Notion of a Transcendental Schema. The Constitution of Objective Cognition between Epistemology and Psychology, Berlin/ Bern/ Bruxelles/ New York/ Oxford/ Warszawa/ Wien, Peter Lang, 2020, 294 páginas. ISBN: 978-3- 631-80438-4.

Geometry is an a priori science. However, its apriority is saddled with problems. The aim of this paper will be to show 1) how Kant understands that the contents of geometry are synthetic a priori judgments in the Critique of Pure Reason, and 2) if it’s still relevant to study Kant’s theory of geometry after the challenges posed by non-Euclidian theories of space. With respect to point 1: Kant understands geometry as the discipline that objectifies the pure intuition of space. (...) Every geometric concept is built upon the pure intuition of space through a synthetic ostensive process. Furthermore, the pure intuition of space is the form of external experiences. Thus, geometry and external phenomena share a common ground – pure space. This common ground is what provides an answer to the question of the possibility of mathematics as a universal and a priori science. With respect to point 2: the relevance of studying Kant’s theory of geometry lies not only in the fact that geometry can serve as an example to philosophy based on the fact that it establishes its propositions a priori, but also because the object-study of geometry – the pure intuition of space– forces the reader to review Kant’s thoughts about sensibility and its relation to space. The analysis of Kant’s theory of geometry then amounts to studying Kant’s theory of sensibility. (shrink)

En este artículo nos ocupamos del pasaje de Crítica de la razón pura en el que Kant examina de manera preliminar el problema de un esquematismo de los conceptos empíricos y matemáticos. Procuraremos demostrar que, pese a las apariencias en contra, en el texto en cuestión no se niega en absoluto la necesidad de este esquematismo. Al llevar a cabo esta tarea nos concentraremos asimismo en otras dificultades de lectura que presenta el mencionado pasaje.

Trata-se de uma abordagem introdutória à doutrina do esquematismo, segundo o contexto de seu surgimento na Crítica da Razão Pura.This article is an introductory approach to the doctrine of the schematism according to the context of its appearance in the Critique of Pure Reason.

La Filosofía de la Aritmética de Kant, de Charles Parsons.

En este trabajo se desarrolla un examen de lo que Polo llama “devolución del abstracto a la realidad” y lo que Kant denomina “esquematismo”. El objetivo de este análisis es mostrar la razón de ser de las inconmensurables divergencias entre los planteamientos epistemológicos del filósofo madrileño y del filósofo alemán. A raíz de esta diferencia fundamental entre ambos autores aludiré a las diferencias presentes en el modo en que ambos abordan la cuestión de la relación entre lenguaje y realidad.

El objetivo de nuestro artículo es ofrecer una interpretación del capítulo sobre “El esquematismo de los conceptos puros del entendimiento” de la Crítica de la razón pura de Immanuel Kant. Nuestra hipótesis es que en la doctrina del esquematismo se decide la posibilidad de la constitución ontológica del objeto como objeto. Consiguientemente, mostraremos que únicamente con los esquemas trascendentales nos encontramos con los predicados ontológicos fundamentales de la objetividad. Esto se demuestra estableciendo que solo gracias a la doctrina del esquematismo (...) se pone de manifiesto el dinamismo interno de la cooperación entre la sensibilidad y el entendimiento que da lugar al conocimiento objetivo. (shrink)

O objetivo do artigo consiste em apresentar alguns fios da relação entre a noção de sensus communis, a história e a política em Kant, de modo que se estabeleçam as bases de uma análise da filosofia da história de Kant como o equibalente, para sua filosofia político-jurídica, do esquematismo dos conceitos puros.

Este trabajo discute el concepto de “heterogeneidad” y el problema de la aplicación en el “Esquematismo de los conceptos puros”, el primer capítulo de la Analítica de los principios en la Crítica de la razón pura de Kant. Propone, primero, una distinción entre la tesis de la heterogeneidad como independencia metafísica entre conceptos e intuiciones, por un lado, y la heterogeneidad como falta de homogeneidad en los componentes del juicio, por otro. El trabajo afirma que esta última, y no la (...) primera, genera el problema de la aplicación de las categorías a los fenómenos. Sostiene asimismo que, aunque el concepto de “aplicación” está presente en el problema de la validez objetiva de las categorías en la Deducción trascendental, la aplicación solo aparece como problema en el capítulo del Esquematismo. Sobre esta base, y en contraste con las lecturas “continuistas” predominantes que toman al Esquematismo como una parte de la problemática de la Deducción, este trabajo propone además que el Esquematismo representa un nuevo problema en el programa de Kant. Aunque afín a la lectura “discontinuista” de Mario Caimi (2015 y 2017), esta propuesta difiere de ella en un punto vital: cómo entender la distinción entre los esquemas trascendentales y los esquemas de los conceptos empíricos y de los matemáticos. Según nuestra propuesta, la heterogeneidad como falta de homogeneidad surge solo para la aplicacion de las categorías a los fenómenos, pero no para los conceptos empíricos y los matemáticos, así que los esquemas de los dos últimos no tienen un papel mediador. Finalmente, el trabajo sostiene que los esquemas matemáticos juegan un rol ejemplar en la solución al problema de la aplicación: Kant toma la idea de “esquema” como proceso reglado de su concepción del conocimiento matemático, y en este papel contribuyen a resolver el problema de la aplicación. (shrink)

La propuesta fenomenológica de Husserl, aunque se inició con un estudio sobre la naturaleza del número y las funciones matemáticas, abarca mucho más que eso. Se conocen una serie de ensayos editados póstumamente en el tomo XXI de la serie Hussserliana que abarcan los años 1890-1908, y que se enfocan en comprender los avances de la geometría (euclidiana y no euclidiana) y el papel que desempeña en la constitución del espacio físico. Los estudios sobre geometría euclidiana y no (...) euclidiana continuarían así la investigación de Filosofía de la aritmética, ya que ambos comparten los Grundgedanken, es decir, el conjunto de herramientas y temas relacionados con la noción de representación simbólica. El objetivo de este artículo es presentar de manera general los principales problemas a los que Husserl se enfrenta en relación con temas geométricos y espaciales. Se intentará reconstruir, de manera histórico-crítica, aspectos esenciales sobre los temas y problemas de la filosofía de la geometría tal y como Husserl la desarrolla en sus primeras obras fenomenológicas. (shrink)

Daniel Sutherland - Kant on Arithmetic, Algebra, and the Theory of Proportions - Journal of the History of Philosophy 44:4 Journal of the History of Philosophy 44.4 533-558 Muse Search Journals This Journal Contents Kant on Arithmetic, Algebra, and the Theory of Proportions Daniel Sutherland Kant's philosophy of mathematics has both enthralled and exercised philosophers since the appearance of the Critique of Pure Reason. Neither the Critique nor any other work provides a sustained and focused account of his mature views (...) on mathematical cognition, forcing readers to glean what they can from disparate contexts. Despite these hurdles, Kant's views have been of great interest to philosophers of mathematics. They have also been of interest to philosophers wishing to understand Kant's philosophy more generally, since Kant maintains that mathematical judgments are synthetic a priori and that the type of synthesis underlying mathematics is the same as that underlying the perception of objects . Our understanding of Kant's views has been greatly improved during the last four decades by work on Kant's philosophy of mathematics. Despite these advances, however, I think the recent work has largely neglected the importance of Kant's theory of magnitudes and the extent to which that theory is influenced by the Eudoxian theory of proportions presented in Euclid's Elements. As a consequence, an important feature of Kant's.. (shrink)

El objetivo de nuestro artículo es ofrecer una interpretación del capítulo sobre “El esquematismo de los conceptos puros del entendimiento” de la Crítica de la razón pura de Immanuel Kant. Nuestra hipótesis es que en la doctrina del esquematismo se decide la posibilidad de la constitución ontológica del objeto como objeto. Consiguientemente, mostraremos que únicamente con los esquemas trascendentales nos encontramos con los predicados ontológicos fundamentales de la objetividad. Esto se demuestra estableciendo que solo gracias a la doctrina del esquematismo (...) se pone de manifiesto el dinamismo interno de la cooperación entre la sensibilidad y el entendimiento que da lugar al conocimiento objetivo. (shrink)

Résumé Célébré par la plupart de ses commentateurs pour la qualité démonstrative de ses traités, le savant Christiaan Huygens (1629-1695) présente un tout autre style dans ses écrits préparatoires. L’ambivalence entre son approche analytique, nourrie par les innovations algébriques de son époque, et l’ordre synthétique de ses publications, a entretenu une illusion persistante sur la véritable nature de son mode opératoire mathématique. L’examen de ses cahiers d’étude et de ses notes de travail montre clairement que Christiaan Huygens était un adepte (...) de la méthode de Fermat, qu’il a utilisée pour une grande variété de problèmes tout au long de sa carrière. Dans le prolongement des études de Giovanna Cifoletti sur ladite méthode et sur sa diffusion, cet article se concentre sur la place de l’oeuvre de Fermat dans le développement de l’art de l’analyse de Huygens, depuis ses premières années de formation (1645-1646) jusqu’à la publication de la Geometria (1659). (shrink)

Kant’s investigations into so‐called a priori judgments of pure mathematics in the Critique of Pure Reason (KrV) are mainly confined to geometry and arithmetic both of which are grounded on our pure forms of intuition, space, and time. Nevertheless, as regards notions such as irrational numbers and continuous magnitudes, such a restricted account is crucially problematic. I argue that algebra can play a transcendental role with respect to the two pure intuitive sciences, arithmetic and geometry, as the condition of their (...) possibility. It follows that Kant’s schematism of the concept of magnitude ought to be quantitatively represented in algebraic formulas in general, and also undergo several modifications in order to suit continuities. (shrink)

This paper analyses the place of sortition in the political philosophy of Jacques Rancière. The idea of sortition is linked to a philosophical reflection on arithmetic equality and geometric equality. Thus, starting from an important work of Cornelius Castoriadis in this sense, we will analyze below the relationship of Rancière’s political philosophy with equality. Finally we will analyze the sortition and the place it occupies in his work. Bernard Manin’s work on ancient democracies and systems of representative government will help (...) us contextualize Rancière’s proposals on the use of random selection in politics. (shrink)

Entre 1676 y 1680 Leibniz intentó conseguir un puesto remunerado en la Académie des sciencesque quedó vacante tras el fallecimiento de Roberval en 1675. Al mismo tiempo, Leibniz ofrece en cartas a Huygens varios métodos, recetas e invenciones que podrían ser de utilidad para la academia parisina: entre ellos encontramos el analysis situs, una discusión sobre el método de Becher para encontrar oro, la receta del fósforo, el método inverso de tangentes, la cuadratura aritmética y su propia red epistolar. La (...) hipótesis de este trabajo defiende que estas discusiones fueron presentadas a Huygens con la finalidad de conseguir el puesto remunerado en la Académie, lo cual no ha sido lo suficientemente tenido en cuenta en la literatura científica. (shrink)

El presente artículo expone la doctrina del esquematismo, tal como Kant se refiere a ella en la introducción a su problemática en la Crítica de la razón pura. Además del análisis general del tema, se revisa el marco en que se encuentra el esquematismo y algunos problemas de interpretación del texto.

The contemporary debate that discusses whether the content of perceptual experience is or not conceptual claims I. Kant as its precursor. Surprisingly, both contenders in this debate do so. The Kantian non conceptualists, R. Hanna and L. Allais, among others, have support their arguments on Kant´s insistence on clearly separating intuitions and concepts and the faculties that make them possible, sensibility and understanding in order to emphasize that, once divided according to their functions, it makes sense to think that experience (...) emerges from the collaboration between those two faculties. In this paper I want to make an argument in favor of the non-conceptualist interpretation of Kant. In a nutshell, my argument goes as follows: If, as the Kantian conceptualists say, concepts already operate in sensibility, why would it be necessary to postulate an independent device that helps close the bridge between sensibility and understanding? Why is there a need for schematism? I will defend the legitimacy of that tertium as a mediator element that resolves the problem of the subsumption of particulars under concepts, and with that I will make an argument for the separability between intuitions and concepts. (shrink)

La concepción cartesiana del espacio representa la apertura de una nueva época, revolucionaria, en la concepción espacial de su tiempo, en vista del significado e impacto de la geometría de coordenadas de Descartes. La articulación de la aritmética y la geometría, resultado de la innovadora concepción del método —de las Regulæ ad Directionem Ingenii (1628)— conduce a entender el conocimiento como resultado de las relaciones entre los componentes de un sistema y la expresión de éstas en términos de (...) funciones matemáticas. El enfoque aquí propuesto para el estudio del espacio cartesiano —como sistemático o unitario— es una ruta de análisis que difiere, pero complementa, las perspectivas ontológica, física y teológica que habitualmente se han recorrido para el estudio del espacio en este filósofo y de este modo cubre un importante hueco. Este enfoque ubica las consecuencias epistemológicas fundamentales que se extraen de la concepción metódica cartesiana. (shrink)

Una nueva aproximación a la reconstrucción filogenética basada en la geometría algebraica está ganando fuerza en los últimos años. Fijado un modelo evolutivo para un conjunto de especies, las distribuciones teóricas de los nucleótidos de estas especies satisfacen ciertas relaciones algebraicas que llamamos invariantes. Estos invariantes son de interés teórico y práctico dado que se pueden utilizar para inferir filogenias. En este artículo, explicamos cómo usar los invariantes para implementar algoritmos de reconstrucción filogenética y mostramos cómo el uso de (...) técnicas y resultados teóricos procedentes del álgebra conmutativa y la geometría algebraica puede contribuir en la mejora en la eficacia y la eficiencia de estos algoritmos. (shrink)

El presente escrito muestra que Kant no tenía razón al afirmar que los axiomas de la geometría son juicios sintéticos a priori, tesis que constituye un punto fundamental de partida en la elaboración de su propuesta epistemológica y en su reflexión filosófica sobre el espacio y la geometría euclídea. La tesis falla en dos puntos: uno, al afirmar que los axiomas de la geometría tienen una validez apodíctica; y dos, al implicar que el conocimiento de la estructura (...) espacial del mundo se obtiene de forma a priori, independientemente de la observación y la experiencia. La aparición de las geometrías no euclídeas refuta la primera parte de la tesis y deja en vilo a la segunda; y, finalmente, la segunda parte de la tesis se va al traste con la teoría general de la relatividad de Einstein. Para lograr lo anterior, y teniendo siempre como referencia las ideas del propio Kant, se recurre a una exposición orientada históricamente por las ideas de los principales protagonistas del debate: Euclides, Newton, Leibniz, Kant, Poincaré y Einstein. (shrink)

In this paper we extend Neutro-Algebra and Anti-Algebra to geometric spaces, founding Neutro/Geometry and AntiGeometry. While Non-Euclidean Geometries resulted from the total negation of a specific axiom (Euclid's Fifth Postulate), AntiGeometry results from the total negation of any axiom or even more axioms of any geometric axiomatic system (Euclidean, Hilbert, etc. ) and of any type of geometry such as Geometry (Euclidean, Projective, Finite, Differential, Algebraic, Complex, Discrete, Computational, Molecular, Convex, etc.), and Neutro-Geometry results from the partial negation of one (...) or more axioms [and without total negation of any axiom] of any geometric axiomatic system and of any type of geometry. Generally, instead of a classical geometric Axiom, one can take any classical geometric Theorem of any axiomatic system and of any type of geometry, and transform it by Neutrosophication or Antisofication into a Neutro-Theorem or Anti-Theorem respectively to construct a Neutro-Geometry or Anti-Geometry. Therefore, Neutro-Geometry and Anti-Geometry are respectively alternatives and generalizations of Non-Euclidean Geometries. In the second part, the evolution from Paradoxism to Neutrosophy, then to NeutroAlgebra and Anti-Algebra, then to Neutro-Geometry and Anti-Geometry, and in general to Neutro-Structure and Anti-Structure that arise naturally in any field of knowledge is recalled. At the end, applications of many Neutro-Structures in our real world are presented. (shrink)

Sunto Prendendo in esame quanto il celebre maestro di retorica Marco Fabio Quintiliano (35 d.C. ca - 100 d.C. ca) scrive in età flavia nella sua _Institutio oratoria_ a proposito dell’importanza dello studio della Matematica nella formazione di base del futuro perfetto oratore romano, si intende approfondire in particolare una porzione del lungo passo presente nel I libro (I 10, 34-49), nello specifico i §§ 39-45. In essi l’autore latino, partendo dall’affermazione che la geometria, non meno dell’aritmetica, con il suo (...) procedimento razionale smaschera ciò che, pur apparendo verisimile, in realtà è falso, inserisce in funzione esemplificativa una vera e propria lezione di geometria piana sul problema dell’isoperimetria. Lo scopo dell’autore è di fornire una prova dell’utilità della geometria per educare a un uso corretto dell’_ars_ _dicendi_. _Keywords__: _Quintiliano; retorica; isoperimetria. Abstract Examining what the famous rhetoric teacher Marcus Fabius Quintilian (ca. 35 CE – ca. 100 CE) writes during the Flavian period in his Institutio Oratoria about the importance of studying mathematics as part of the foundational education for the future perfect Roman orator, this paper focuses on a specific section of the long passage found in Book I (I 10, 34-49), particularly §§ 39-45. In this section, the Latin author, starting from the assertion that geometry, no less than arithmetic, with its rational method, reveals what may appear plausible but is actually false, includes a true lesson in plane geometry on the problem of isoperimetry. The author's goal is to demonstrate the utility of geometry in educating one to make proper use of the ars dicendi (art of speaking). _Keywords: _ Quintilian; rhetoric; isoperimetry. (shrink)

In the second chapter of his book Kant and the Exact Sciences Michael Friedman deals with two different interpretations of the relation or the difference between algebra and arithmetic in Kant's thought. According to the first interpretation algebra can be described as general arithmetic because it generalizes over all numbers by the use of variables, whereas arithmetic only deals with particular numbers. The alternative suggestion is that algebra is more general than arithmetic because it considers a more general class of (...) magnitudes. This means that arithmetic is concerned only with rational magnitudes, whereas algebra is also concerned with irrational magnitudes. In this article, I will discuss which of the two aforementioned approaches is to be considered the most plausible interpretation of Kant's theory of algebra and arithmetic. According to Friedman, the first interpretation cannot be reconciled with certain statements made by Kant on various occasions. The second interpretation is developed by Friedman himself. It is meant to be an attempt to avoid such inconsistencies. By a detailed analysis of the texts Friedman himself cites I shall examine the soundness of his arguments against the first interpretation and the compatibility of his own interpretation of the difference between algebra and arithmetic with the relevant passages in Kant's texts. It will turn out that the reasons that make Friedman reject the first interpretation are invalid as they are based on misunderstandings and that his own interpretation does not expound Kant's notions on that subject correctly, whereas the first interpretation is compatible with these passages. Thus, I conclude that the interpretation rejected by Friedman, unlike his own approach, is actually the more adequate interpretation of Kant. (shrink)

In the previous paper (Filozofia Nauki No 3-4, 1994, pp. 7-17) we have shown how the initial and final singularities in the closed Friedman world model can be analysed in terms of the structured spaces in spite of the fact that these singularities constitute the single point in the b-boundary of space-time. In the present paper we generalize our approach by using methods of noncommutative geometry. We construct a noncommutative algebra in terms of which geometry of space-time with singularities can (...) be developed. This algebra admits a representation in the space of operators on a Hilbert space, and the initial and final singularities in the closed Friedman model are given by its two distinct representations. The striking feature of this approach is its analogy with the mathematical formalism of quantum mechanics. (shrink)

Esse texto procura estabelecer a conexão entre o opúsculo “Sobre o primeiro fundamento da distinção de direções no espaço” (GUGR), de 1768, e a Crítica da razão pura (KrV), de 1781, procurando evidenciar que há um programa de pesquisa de Kant sobre a estrutura do espaço que principia com as reflexões estabelecidas a partir das contrapartidas incongruentes. Para defender esse argumento, há uma grande dificuldade, pois Kant não se reporta às contrapartidas incongruentes no texto da primeira crítica. São vários os (...) comentadores que se reportam a esse fato para minorar a importância do texto de 1768 para a constituição da estética teórica. Para caracterizar a importância das contrapartidas incongruentes para o pensamento crítico, procuraremos examinar uma tese do espaço exposta nos Prolegômenos a toda a metafísica futura (Prol), de 1783, que é a de que somente o todo é fundamento de possibilidade das partes. Se os Prolegômenos fazem o caminho invertido, o do método analítico, e a Crítica da razão pura percorre o caminho sintético, quais seriam, nesse caso, as condições de possibilidade de uma estética que deveria ser construída a priori? Ao analisar essa questão, procuraremos mostrar que a sua solução depende das contrapartidas incongruentes nos Prolegômenos, e que ela é igualmente decisiva para a construção da Estética Transcendental. Com essa estratégia, procuraremos mostrar que há pressupostos epistemológicos em comum entre os três textos. Palavras-chave: Kant. Contrapartidas incongruentes. Espaço. Geometria. Parte. Todo. Infinitude and mereology in the construction of Kant’s theoretical aesthetics Abstract: The aim of this text is to establish the connection between the 1768 essay “Concerning the ultimate ground of the differentiation of directions in space” (GUGR) and the 1781 Critique of Pure Reason (KrV), seeking to show that Kant has a research program regarding the structure of space that begins with reflections established from incongruent counterparts. There is considerable difficulty in defending this argument, because Kant does not refer to incongruent counterparts in the text of the first critique. Several commentators have referred to this fact to downplay the importance of the 1768 text for constituting theoretical aesthetics. To characterize the importance of incongruent counterparts for critical thinking, we examine a thesis on space presented in the Prolegomena To Any Future Metaphysics (Prol), of 1783, which is that only the whole is the ground for the possibility of the parts. If the Prolegomena take the opposite route, that of the analytical method, and the Critique of Pure Reason follows the synthetic route, what, in this case, would be the conditions for the possibility of an aesthetic that should be constructed a priori? In analyzing this question, we seek to show that its solution depends on the incongruent counterparts in the Prolegomena, and that it is equally decisive for constructing Transcendental Aesthetics. Using this strategy, we seek to show that the three texts have epistemological assumptions in common. Keywords: Kant. Incongruent counterparts. Space. Geometry. Part. Whole. Infinitud y mereología en la construcción de la estética teórica de Kant Resumen: El presente texto busca establecer la conéxion entre el opúsculo “Sobre el fundamento primero de la diferencia entre las regiones del espacio” (GUGR), de 1768, y la Crítica de la razón pura (KrV), de 1781, intentando evidenciar que hay un programa de investigación de Kant sobre la estructura del espacio que empieza con las reflexiones establecidas a partir de las contrapartidas incongruentes. Para defender ese argumento, hay una gran dificultad, pues Kant no se reporta a las contrapartidas incongruentes en el texto de la primera crítica. Son varios los comentadores que se reportan a ese hecho para minimizar la importancia del texto de 1768 para la constitución de la estética teórica. Para caracterizar la importancia de las contrapartidas incongruentes para el pensamiento crítico, procuraremos examinar una tesis del espacio expuesta en los Prolegómenos a toda metafísica futura (Prol), de 1783, que es de que solamente el todo es fundamento de posibilidad de las partes. Se los Prolegómenos hacen el camino invertido, del método analítico, y la Crítica de la razón pura recorre el camino sintético, ¿cuales serían, en ese caso, las condiciones de posibilidad de una estética que debería ser construida a priori? Al analizar esa cuestión, procuraremos mostrar que su solución depende de las contrapartidas incongruentes en los Prolegómenos, y que ella es igualmente decisiva para la construcción de la Estética Transcendental. Con esa estratégia, esforzaremos en mostrar que hay presupuestos epistemológicos en común entre los tres textos. Palavras clave: Kant. Contrapartes incongruentes. Espacio. Geometría. Parte. Todo. Data de registro: 20/08/2024 Data de aceite: 30/10/2024. (shrink)

El objetivo del presente artículo es ofrecer una interpretación de la doctrina del esquematismo de los conceptos empíricos y matemáticos presentada por Kant en su Crítica de la razón pura. Mostramos que los esquemas de los conceptos empíricos y matemáticos son procedimientos de síntesis gobernados por reglas conceptuales. Aunque no consideramos que esta doctrina kantiana carece de problemas, nuestro trabajo muestra que: 1) esos esquemas pueden distinguirse rigurosamente de sus correspondientes conceptos; 2) esos esquemas no son entidades superfluas. Estas conclusiones (...) se alcanzan mostrando que el contenido de un concepto determina la unidad de elementos sensibles que tiene que ser efectuada por un esquema en tanto procedimiento de síntesis. (shrink)

Kant's theory of arithmetic is not only a central element in his theoretical philosophy but also an important contribution to the philosophy of arithmetic as such. However, modern mathematics, especially non-Euclidean geometry, has placed much pressure on Kant's theory of mathematics. But objections against his theory of geometry do not necessarily correspond to arguments against his theory of arithmetic and algebra. The goal of this article is to show that at least some important details in Kant's theory of arithmetic can (...) be picked up, improved by reconstruction and defended under a contemporary perspective: the theory of numbers as products of rule following construction presupposing successive synthesis in time and the theory of arithmetic equations, sentences or "formulas"—as Kant says—as synthetic a priori. In order to do so, two calculi in terms of modern mathematics are introduced which formalise Kant's theory of addition as a form of synthetic operation. (shrink)

Debido a que no es evidente en qué sentido el estudio de la matemática ayuda a los guardianes de la República de Platón a dominar las pasiones y los prepara para ser gobernantes, mostraré la función propedéutica de la matemática; cómo las cinco disciplinas en las que está dividida — aritmética, geometría, estereotomía, astronomía y música — pueden dividirse a su vez en dos: la popular y la filosófica, y es solo esta última la que provoca el giro del (...) alma hacia lo que es siempre. Esta es la razón por la cual se afirma que la matemática es una preparación para la dialéctica, el único método propiamente filosófico y la ciencia máxima. Solo tras una década de ejercitación matemática el guardián se convertirá en dialéctico, ascenderá al ámbito inteligible y contemplará las Ideas, divinas y ordenadas. Esto despertará en él el deseo de querer asemejarse a ellas y, por mímesis, volverse él también divino y ordenado, lo que le permitirá ejercer el gobierno de sí, que en la psicología platónica se traduce en el mandato de lo racional sobre lo irascible y lo apetitivo, el gobierno de lo intelectual sobre lo anímico. A pesar del deseo de permanecer para siempre en el ámbito inteligible, el dialéctico deberá descender nuevamente a la caverna y gobernar de forma justa la pólis e instaurar en las costumbres públicas y privadas de los gobernados el orden contemplado, alejado de la tiranía y de las pasiones violentas y los apetitos que tiranizan al propio tirano, según el paralelismo alma - ciudad. Cierro con la respuesta a la pregunta de quién es ese filósofo-gobernante en el siglo XXI. (shrink)

Na Crítica da razão pura (1787), Kant expõe uma teoria da analiticidade que pode ser resumida nos seguintes pontos principais: a contenção dos termos, a identidade entre eles e o princípio de contradição. Com base nestes critérios, Kant pensa que a aritmética não usa juízos analíticos. Em oposição, Frege defende, nos Fundamentos da aritmética (1884), que a teoria kantiana de analiticidade é equivocada e que juízos analíticos, incluindo os aritméticos, são lógicos. Pretende-se, portanto, com o uso da literatura secundária em (...) Hanna (2004), discutir as doutrinas de Kant e Frege acerca disso, sugerindo que a teoria de Kant não consegue se sustentar e que a teoria de Frege, embora problemática, possui um ponto promissor a partir da semântica de mundos possíveis de Plantinga (1974) e Kripke (2012). (shrink)

El objetivo del presente artículo consiste en analizar el trasfondo de las matemáticas empleadas por Aristóteles en el libro V de la _Ética a Nicómaco_ con el propósito de esclarecer las nociones de aritmética y geometría en relación con la justicia y la ética. Expongo brevemente la concepción de algunos estudiosos de Aristóteles que proponen una incompatibilidad radical entre ambos modelos matemáticos, y a partir de ello indico por qué esa lectura es equivocada. Finalmente, defiendo una interpretación integracionista, especialmente (...) a partir de la comprensión de la virtud como _enérgeia_ y _entelécheia_. (shrink)

Este artigo aborda a reação de Frege a Kant e questiona uma influente interpretação, defendida por Jim Conant, de acordo com a qual Frege subscreve os princípios essenciais da filosofia de Kant, nomeadamente a sua conceção antipsicologista avant la lettre da lógica pura. Eu defendo que existem diferenças profundas de ponto de vista entre eles, as quais alimentam o seu bem conhecido desacordo acerca da natureza da aritmética, e que a rejeição de Frege de algumas das premissas fundamentais da epistemologia (...) kantiana levou-o a uma forma bastante distinta de antipsicologismo. No centro da disputa Frege-Kant está um entendimento completamente diferente da objetividade, a qual aos olhos de Frege não pode ser concebida como uma expressão do nosso considerar algo verdadeiro, como resulta do enquadramento de Kant. (shrink)

In the Critique of Pure Reason, Kant defends the mathematically deterministic world of physics by arguing that its essential features arise necessarily from innate forms of intuition and rules of understanding through combinatory acts of imagination. Knowing is active: it constructs the unity of nature by combining appearances in certain mandatory ways. What is mandated is that sensible awareness provide objects that conform to the structure of ostensive judgment: “This (S) is P.” -/- Sensibility alone provides no such objects, so (...) the imagination compensates by combining passing point-data into “pure” referents for the subject-position, predicate-position, and copula. The result is a cognitive encounter with a generic physical object whose characteristics—magnitude, substance, property, quality, and causality—are abstracted as the Kantian categories. Each characteristic is a product of “sensible synthesis” that has been “determined” by a “function of unity” in judgment. -/- Understanding the possibility of such determination by judgment is the chief difficulty for any rehabilitative reconstruction of Kant’s theory. I will show that Kant conceives of figurative synthesis as an act of line-drawing, and of the functions of unity as rules for attending to this act. The subject-position refers to substance, identified as the objective time-continuum; the predicate-position, to quality, identified as the continuum of property values (constituting the second-order type named by the predicate concept). The upshot is that both positions refer to continuous magnitudes, related so that one (time-value) is the condition of the other (property-value). -/- Kant’s theory of physically constructive grammar is thus equivalent to the analytic-geometric formalism at work in the practice of mathematical physics, which schematizes time and state as lines related by an algebraic formula. Kant theorizes the subject–predicate relation in ostensive judgment as an algebraic time–state function. When aimed towards sensibility, “S is P” functions as the algebraic relation “t → ƒ(t).”. (shrink)

To speak about the inheritances of modern thought and to refer to Kant is something obvious. But when Putnam assures that Kant was “the first internal realist”, it is important to take it into account. Focusing only in the phase of this internal Putnamian realism– and particularly exactly as it is expressed in Reason, Truth and History-this work tries to detect some of the places in the Critique of Pure Reason which could back up this statement and give it sense. (...) What both texts understand by rationality and truth will guide us to the place where – beyond the theoretical and historical distance – both philosophers coincide. (shrink)

Apresentamos a leitura deleuziana do papel e do poder da imaginação e do esquematismo no juízo estético segundo Immanuel Kant destacando, em particular, a importância de se pensar um desacordo entre faculdades e de, no limite, afirmarmos a impossibilidade de uma filosofia da arte. Como se dá o processo que liga sensações e conceitos, arte e filosofia? Ao respondermos a esta questão, também esclarecemos a situação peculiar de Kant na filosofia de Gilles Deleuze e a leitura que este faz em (...) A Filosofia Crítica de Kant, publicado em 1963. Teremos como objeto de análise um filme sensorial, To the Wonder/A Essência do Amor, realizado por Terrence Malick. (shrink)

Resumen: El presente artículo constituye un estudio sobre el concepto de determinación trascendental temporal expuesto por Kant en el marco del esquematismo trascendental kantiano en KrV. Con este objeto, se exponen las razones de la preminencia de la definición de esquema como transzendentale Zeitbestimmung, frente a otras asociadas a la interpretación estática del esquematismo y, fundamentalmente, frente aquella donde se presenta como un proceso de subsunción o de aplicación de las categorías a las intuiciones puras, reconstruyendo a su vez el (...) alcance de dicha noción a partir del análisis del estatuto de la determinación temporal en otras obras del corpus kantiano. Abstract: In this paper, I focus on the concept of transcendental time-determination exposed by Kant in relation with the transcendental schematism in KrV. With this aim, I discuss why the definition of "schema" as transzendentale Zeitbestimmung is more relevant than other kinds of definitions: the one derived from a static interpretation of the schematism and the one where the schematism is understood as a process of subsumption or application of categories to pure intuitions. Finally, I reconstruct the role of the schema through an analysis of the time-determination as it is developed in the rest of Kant's corpus. (shrink)