Berichte zur Wissenschaftsgeschichte, Volume 44, Issue 1, Page 7-25, March 2021.

Das Wirken des Philosophen, Humanisten und Kirchenreformers Nicolaus Cusanus (1401-1464) zwischen Deutschland und Italien gestaltete sich als eine singuläre kulturelle Vermittlungsleistung von europäischen Dimensionen. Das Buch stellt diese Thematik zum ersten Mal in einer Monographie dar und ist als Ergebnis der Zusammenarbeit renommierter deutscher und italienischer Wissenschaftler auf einem internationalen Symposion aus Anlass des 600. Geburtstages des Cusanus entstanden. Ein einleitender Beitrag fasst auf der Grundlage einer umfangreichen Bibliographie den Forschungsstand mit dem Ergebnis zusammen, dass die kontrovers diskutierte Frage, inwieweit (...) der Deutsche Cusanus der Erneuerungsbewegung des italienischen Quattrocento zuzurechnen sei, einer vertieften Klärung bedarf. Dieser Frage widmen sich die fünf Hauptteile des Buches: In Einzeluntersuchungen wird dargelegt, wie Cusanus Einflüsse der deutschen und italienischen Kultur aufnahm, welche Präsenz er in der Handschriften- und Bibliothekskultur des 15. Jahrhunderts hatte, inwieweit er selbst auf seine deutschen und italienischen Zeitgenossen wirkte, welche Einflüsse von ihm auf die Philosophie des italienischen Quattrocento tatsächlich ausgingen und welche Bedeutung seiner Gestalt in der Gesamtperspektive der deutschen und italienischen Kultur an der Schwelle vom Spätmittelalter zur Frühneuzeit zukommt. Im Ergebnis wird Cusanus als eine Gestalt sichtbar, die in ganz einzigartiger Weise die kontroversen Strömungen im Deutschland und Italien seiner Zeit - wie beispielsweise die Mystik der transalpinen Reformklöster einerseits und die neuen philologischen und mathematisch-naturwissenschaftlichen Methoden der italienischen Humanisten andererseits - unter Wahrung ihrer Identität zu einer höheren Synthese vereinen konnte. (shrink)

Even after yet another grand conjecture has been proved or refuted, any omniscience principle that had trivially settled this question is just as little acceptable as before. The significance of the constructive enterprise is therefore not affected by any gain of knowledge. In particular, there is no need to adapt weak counterexamples to mathematical progress.

Es ist bekannt, dass Kurt Gödel im „mathematischen Realismus“ seine philosophische Grundposition wiedergegeben sah. Zielsetzung dieses Essays ist es zu zeigen, dass sich auch umgekehrt ein mathematischer Realismus praktisch zwangsläufig als eine Konsequenz aus dem Unvollständigkeitssatz ergibt. Im Weiteren zeigt sich damit eine unüberwindliche Hürde für eine reduktionistische Mathematik.

Keine ausführliche Beschreibung für "Briefwechsel deutschsprachiger Philosophen 1750-1850" verfügbar.

In den letzten Jahrzehntel! hat sich das Interesse an der Grund­ legung der Mathematik immer gesteigert. Fanden frtiher die wenigen Forscher, die sich emsthaft mit dieser 'Frage beschaftigten, wenig Be­ achtung, heute ist die Teilnahme sowohl von mathematischer wie von philosophischer Seite fast allgemein. Zu diesem Umschwung hat sieher die CANToRSche Mengenlehre, die gleich nach ihrem Entstehen lebhafte Erorterungen tiber ihre Berechtigung hervorrief, den AnstoB gegeben, und besonders die bei riicksichtsloser Durchfiihrung ihrer Grundgedanken auftretenden Widerspriiche zogen die allgemeine Aufmerksamkeit auf (...) sich. Doch ist die bisweUen noch geauBerte Behauptung, der Zweck -der Grundlagenforschung liege in der Beseitigung der Widersprtiche, verfehlt. In philosophischer und in mathematischer Richtung geht diese weit tiber eine solche Zielsetzung hinaus. Philosophisch untersucht man -das Wesen der mathematischen Erkenntnis, ihre Voraussetzungen und Endziele, ihr Verhaltnis zu anderen Wissensgebieten, insbesondere der Physik, und ihre Abgrenzung gegen diese dem lnhalt und der Methode nacho An diese philosophischen Erorterungen schlieBen sich umfangreiche mathematische Untersuchungen tiber den Aufbau der Mathematik aus den philosophisch gegebenen Voraussetzungen und tiber die Struktur der mathematischen Beweisftihrungen. Einzelne Teilgebiete dieser Unter­ suchungen entwickeln sich schon zu selbstandigen Disziplinen, die sich in ihren Methoden und Problemstellungen von der eigentlichen Grund­ lagenforschung unabhangig machen; ein Beispiel eines solchen neuen Zweiges der Mathematik, der sein Entstehen der Grundlagenforschung verdankt, ist die mathematischp. Logik. Allmahlich haben sich drei J. auptrichtungen gebildet, die je einer eigenen Auffassung tiber das Wesen der Mathematik entsprechen undo je zu verschieden gearteten mathematischen Untersuchungen geftihrt haben. (shrink)

Schelling und Hegel benutzen in ihren philosophischen Texten mathematische und naturwissenschaftliche Modelle wie Unendlichkeit oder Gleichgewicht. Die Strukturen dieser Begriffe liefern einen Massstab fur den Vergleich der Positionen Schellings und Hegels, der fur Schellings Identitatsphilosophie und Hegels erste Jenaer Schriften durchgefuhrt wird. Als wichtigstes Resultat kann eine grundlegende Differenz zwischen beiden Positionen bereits um 1801 nachgewiesen und gezeigt werden, dass diese auf einer unterschiedlichen Auffassung der Rolle des Absoluten beruht.

Dieses Buch ist ein wichtiges studienbegleitendes Hilfsmittel für alle die Mathematik-Lehrveranstaltungen besuchen. Die Lektüre dieses Buch ermöglicht Ihnen, begriffliche Sicherheit für Mathematik-Vorlesungen und Prüfungen aufzubauen. Die Lektüre jedes Kapitel dieses Buches erlaubt Ihnen, einen Überblick über die Begriffe eines Teilgebiets der Mathematik zu erhalten und diese Begriffe nachhaltig zu erfassen. Wenn Sie als Student einen mathematischen Begriff nicht richtig verstehen oder sich an seine Definition nicht erinnern, können Sie in diesem Buch nachschlagen und erhalten durch paradigmatische Beispiele und Bilder ein (...) fundiertes Verständnis des Begriffs. Arbeiten Sie ein Kapitel dieses Buches in Vorbereitung einer Prüfung durch, so können Sie sich in begrifflicher Hinsicht in der Prüfung sicher fühlen. Insgesamt finden sich in diesem Buch mehr als tausend Definitionen von Begriffen aus vierzehn Teilgebieten der Mathematik. Die Auswahl der Begriffe orientiert sich in jedem Kapitel an den Vorlesungen zum behandelten Thema, die an deutschen Hochschulen gehalten werden. Alle wesentlichen Begriffe, die in Mathematik-Vorlesungen in Bachelorstudiengängen vorkommen und auch alle grundlegenden Begriffe der Mathematik-Vorlesungen in Masterstudiengängen sind in diesem Buch enthalten. Dieses Buch stellt also einen Kanon mathematischer Begriffe vor, der auch für Lehrende von Interesse ist. (shrink)

Ausgangspunkt der Betrachtung von Aristoteles’ Ansichten zur Ontologie mathematischer Gegenstände ist die Sichtweise seines Lehrers Platon auf die Gegenstände der Mathematik. Dieser war der Ansicht, dass die eigentlichen Gegenstände der mathematischen Wissenschaften Geometrie und Arithmetik sowohl unveränderlich als nicht wahrnehmbar sind, und daher als getrennt von den physikalischen Gegenständen existierend angenommen werden müssen. Die Gründe, die Platon dafür hatte, sind von zweierlei Art.

Jakob Friedrich Fries is one of the most important representatives of the Critical Philosophy, someone who built immediately on the original Kantian philosophy. -/- Fries was born in 1773 in Barby (on the Elbe). In 1805 he was extraordinary professor for philosophy in Jena and in the same year was ordinary professor for philosophy in Heidelberg. Returning to Jena in 1816, one year later he was compulsorily retired because of his participation at the nationalistic and republican Wartburg Festival. In 1924 (...) he obtained a professorship for physics and mathematics, and in 1838 he was given back a professorship for philosophy. He died in 1843 in Jena. -/- The book summarizes the research results of the DFG-Project "Jakob Friedrich Fries' Influence on the Sciences of the 19th Century". The research project was carried out by Dr. Kay Herrmann (Institute of Philosophy, Jena University) and Prof. Dr. Wolfram Hogrebe (Institute of Philosophy, Bonn University). Such a study has special importance. There is available a large amount of literature about the "speculative contemporaries" of Fries, like Fichte, Schelling, and Hegel. In contrast to the "speculative philosophy", there has been published only a few studies about the Friesian natural philosophy. Fries was, in his natural-philosophical studies, looking for a link between philosophy and modern sciences, wheras his "speculative philosophical" contemporaries felt obligated to stick primarily to a descriptive, phenomenal view of nature. So far the question "How was mathematical natural philosophy regarded by scientists and mathematicians of the 19th century?" has hardly been investigated. Archival studies showed that this gap in Fries-research can be filled. The Friesian correspondence turned out to be a rich gold mine. -/- The present publication is more than a research report. The monographic first part is intended to introduce the foundations of the Friesian theory of cognition, the Friesian methodology, and the Friesian natural philosophy. This should facilitate entry into Friesian philosophy. -/- The Friesian theory is analyzed from two points of view: •How did Fries suceed in continuing and improving the Kantian approach? Is Fries able to remove the weak points of Kantian philosophy? -/- •What is the current significance of the Friesian approach? There are some interesting similarities between the Friesian approach and modern philosophical theories (such like Chomsky's theory of "universal grammer"). The lasting core of the Friesian theory of cognition is: To use empirical studies for working on philosophical problems. -/- Chapters 3 and 4 are scientific-historically oriented. These chapters analyze the Friesian position in scientific and mathematical debates (debates about the a priori foundations of physics, the problem of the identification of physics as an independent discipline, the problem of the boundary between chemistry and physics, the problem of mathematization of the sciences, the theory of the imponderabilia, the systematics and structure of sciences and mathematics, problems of infinity, the differential calculus, the theory of parallel lines) and the relation between Fries and the scientists of the 19th century. The book contains the latest findings gained by evaluation of the Friesian unpublished work (for example the correspondence with W. Weber, C. F. Gauß, E. F. Apelt, O. Schlömilch, Ch. Reichel, B. A. v. Lindenau, L. Gmelin, E. G. Fischer, A. N. Scherer, J. S. C. Schweigger) -/- One result of the research project is that some important scientists took a favourable view of the Friesian theory, but the influence of the Friesian philosophy on the sciences of the 19th century was very limited. The causes are very complex: An anti-natural-philosophical spirit of age, the limits of the Kantian inspired philosophy and some unfavourable aspects in the biography of Fries. -/- For the first time the voluminous Fries-Reichel-correspondence was evaluated. The Fries-Reichel-correspondence contains the Friesian approach to prove the 11th Euclidean axiom, and the whole transcript of the Friesian attempt at proof is given. // Der erste Teil des Buches will in die Grundprobleme Fries’scher Erkenntnis­theorie, Methodenlehre und Naturphilosophie einführen, wobei das Hauptaugenmerk auf die Fortführung der kantischen Ansätze durch Fries sowie auf die aktuelle Interpretation der Fries’schen Lehre gerichtet ist. Der wissenschaftshistorisch ausgerichtete zweite Teil analysiert Fries’ Stellung zu naturwissenschaftlichen und mathematischen Diskussionsrichtungen (Probleme der Identifizierung der Physik als eigenständige Disziplin, der Grenzziehung zwischen Physik und Chemie, der Mathematisierung der Naturwissenschaften, der Imponderabilientheorie, der Systematik von Naturwissenschaft und Mathematik, des Unendlichen, der Parallelentheorie usw.) sowie sein Verhältnis zu Naturwissenschaftlern und Mathematikern seiner Zeit. Das Buch enthält neue Erkenntnisse, die aus der Auswertung zahlreicher Nachlassmaterialien gewonnen wurden. Erstmalig wird unter dem Blickwinkel „Fries als Naturwissenschaftler und Mathematiker“ auch der sehr umfangreiche Reichel-Briefwechsel ausgewertet. Dem Reichel-Briefwechsel entstammt auch Fries’ Versuch eines Beweises des Parallelenaxioms, der in diesem Buch erstmalig in transkribierter Form vollständig vorliegt. -/- . (shrink)

Dieses Buch bietet eine grundlegende Einführung in den Einsatz der Methode des Decision Theater zur Vermittlung von mathematischer Modellierungskompetenz im Schulkontext. In den letzten Jahren hat sich unter anderem anhand der Covid-19 Pandemie mehr denn je gezeigt, wie Mathematik im Allgemeinen und das mathematische Modellieren im Speziellen zum Verständnis globaler Herausforderungen und Möglichkeiten zu ihrer Bewältigung beiträgt. Deshalb sollte die mathematische Modellierungskompetenz eine zentrale Rolle im Schulunterricht spielen. Doch der Prozess von Vermittlung und Erwerb einer solchen Kompetenz ist (...) komplex und mit vielfältigen Schwierigkeiten verbunden. Angesichts dieser Ausgangslage stellt das Buch die Methode des Decision Theater als innovative Lernumgebung neuer Art vor, die die Vermittlung von mathematischer Modellierungskompetenz unterstützen kann. Dabei trägt die Methode des Decision Theatre auf drei Ebenen dazu beiträgt, Modellierungskompetenz und ein damit verbundenes ganzheitliches Bild der Mathematik zu fördern: Das Decision Theatre dient als IT-Dienstleister, als Wissenschaftskommunikator und als interaktiv-diskursive Lernumgebung. Neben Geschichte und Definition des Decision Theater, stellt das Buch dessen Einsatz konkret am Beispiel des Projekts „Schule @ Decision Theatre Lab“ des Berliner Exzellenzclusters MATH+ Berlin Mathematics Research Center vor. Als Zusammenfassung der wichtigsten Aspekte des Einsatzes der Methode des Decision Theater im Schulkontext richtet sich das Buch an Didaktiker*innen und Lehrkräfte aller Schulformen. (shrink)

Dieses Buch bietet eine grundlegende Einführung in die wichtigsten Aspekte der Vermittlung und des Erwerbs von mathematischer Modellierungskompetenz im Schulkontext. In den letzten Jahren hat sich unter anderem anhand der Covid-19 Pandemie mehr denn je gezeigt, wie Mathematik im Allgemeinen und das mathematische Modellieren im Speziellen zum Verständnis globaler Herausforderungen und Möglichkeiten zu ihrer Bewältigung beiträgt. Deshalb sollte die mathematische Modellierungskompetenz eine zentrale Rolle im Schulunterricht spielen. Dies kann auch zur Vermittlung eines ganzheitlichen Bildes der Mathematik beitragen. Doch (...) der Prozess von Vermittlung und Erwerb einer solchen Kompetenz ist komplex und mit vielfältigen Schwierigkeiten verbunden. Angesichts dieser Ausgangslage fasst das Buch Geschichte und Definition der Modellierungskompetenz im Mathematikunterricht zusammen, stellt die damit verbundenen Ziele und Perspektiven dar, veranschaulicht theoretische Hintergrundüberlegungen, stellt Modellierungsaufgaben und passende Lernumgebungen vor und weist auf notwendige Teilkompetenzen und mögliche Hindernisse beim Erwerb von Modellierungskompetenz hin. Letztendlich wird damit auch der Anspruch der Vermittlung eines ganzheitlichen Bildes der Mathematik im Schulunterricht angesprochen. Als Zusammenfassung der wichtigsten Aspekte des mathematischen Modellierungskompetenz im Schulkontext richtet sich das Buch an Mathematikdidaktiker*innen und Lehrkräfte aller Schulformen. (shrink)

Der Laie spricht manchmal die Ansicht aus, die Mathematik ware heutzutage schon eine tote Wissenschaft: nachdem sie einen ungemein hohen Grad der Entwicklung erreicht hat, sei sie in ihrer steinernen Vollkommenheit erstarrt. Dies ist ein vollig irriges Bild der Situation: nur wenige Wissenschaftsgebiete befinden sich heute in der Phase einer solch intensiven Entwicklung wie die Mathematik. Diese Entwicklung ist dabei auBerordentlich vie1seitig: die Mathematik erweitert ihre Domane nach allen moglichen Richtungen, sie wachst in die Rohe, in die Weite und in (...) die Tiefe. Sie wachst in die Rohe, da auf dem Boden ihrer alten Theorien, denen eine jahrhundert-, ja sogar jahrtausend- lange Entwicklung zugrunde liegt, immer wieder neue Prob1eme auftauchen, immer scharfere und vollkommenere Resultate er- zielt werden; in die Weite, da ihre Methoden andere Wissen- schaftszweige durchdringen, ihr Untersuchungsbereich immer umfangreichere Gebiete von Erscheinungen umfaBt und immer neue Theorien in den groBen Kreis mathematischer Disziplinen einbezogen werden; und schlieBlich in die Tiefe, da ihre Grund- lagen immer mehr gefestigt, die bei ihrem Aufbau angewandten Methoden immer vollkommener werden und ihre Prinzipien an Dauerhaftigkeit gewinnen. In dem vorliegenden Buch wiinschte ich dem Leser, der fiir die gegenwartige Mathematik Interesse aufweist, aber ihr fern- steht, mindestens einen ganz allgemeinen Begriff von dieser dritten Entwicklungslinie der Mathematik, d. i. von ihrer Ent- wicklung in die Tiefe, zu geben. (shrink)

Theory of Computation -- Mathematical Logic and Formal Languages.

In diesem Kapitel werden am elementaren Einteilchen-System und paradigmatisch anhand der Eigenschaft des Spins die physikalischen und mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik bereitgestellt. Sie bilden die Basis für die Erörterung der philosophischen Probleme in den folgenden Kapiteln.