Les architectures molles, sculptées, transparentes, immatérielles prétendent se libérer des contraintes géométriques, comme si la géométrie ne revendiquait que la droite et la forme orthogonale ou le cercle! Certains architectes s'abandonnent aux " hasards " informatiques et construisent des édifices à la géométrie chahutée par un logiciel. Des urbanistes opposent encore le plan radioconcentrique au plan en damier en ce qui concerne l'expansion des villes et, refusant d'imaginer d'autres morphologies, laissent faire la promotion immobilière, les opportunités foncières et (...) le chacun pour soi. La géométrie, dans notre culture marquée par la philosophie grecque, est constitutive et de l'architecture et de l'urbanisme. Elle est mise en débat par le jeu extraordinairement varié des formes et de leurs agencements, aussi bien que par des régulations qui donnent une mesure au monde et suscitent des questionnements quant à ce qui est à la mesure de l'existence. Depuis le simple pas jusqu'aux théories les plus sophistiquées, la géométrie - qui n'a jamais cessé de se complexifier depuis Pythagore ou Euclide jusqu'aux géométries algébrique, infinitésimale et variable - se rappelle à nous. C'est ce rappel qu'il nous faut entendre, comme une invitation à penser aussi bien notre corps que le paysage, aussi bien la maison que la ville et la cité. Cet ouvrage collectif veut questionner géométriquement et philosophiquement l'urbain contemporain et les architectures qu'il provoque. En d'autres termes, il espère saisir à partir de la confrontation entre mathématiciens, géomètres, historiens, architectes, urbanistes, paysagistes et philosophes l'expérience existentielle de l'espace-temps des lieux. (shrink)

The classification of algebraic surfaces by the Italian School of algebraic geometry is universally recognized as a breakthrough in 20th century mathematics. The methods by which it was achieved do not, however, meet the modern standard of rigor and therefore appear dubious from a contemporary viewpoint. In this article, we offer a glimpse into the mathematical practice of the three leading exponents of the Italian School of algebraic geometry: Castelnuovo, Enriques, and Severi. We then bring into focus their distinctive conception (...) of rigor and intuition. Unlike what is often assumed today, from their perspective, rigor is neither opposed to intuition nor understood as a unitary phenomenon –Enriques distinguishes between _ small-scale rigor _ and _ large-scale rigor _ and Severi between _ formal rigor _ and _ substantial rigor _. Finally, we turn to the notion of mathematical objectivity. We draw from our case study in order to advance a multi-dimensional analysis of objectivity. Specifically, we s... (shrink)

RésuméDans l'article qui précède, l'auteur s'efforce, à l'intention surtout de ceux qui enseignent les Eléments, de mettre en lumière la signification et l'importance de deux ouvrages concernant la géométrie. Le court écrit de M. G. Bouligand fait apparaǐtre la structure algébrique et logique de cette science et présente une ȧxiomatique introduisant les notions d'ensemble et de groupe de transformation. Ainsi s'élabore une classification progressive des problèmes selon le genre des solutions qui leur conviennent. Le livre beaucoup plus étendu (...) de M. F. Gonseth analyse les aspects intuitif, expérimental et théorique de ce qui constituait l'élémentaire dans les traités classiques, puis expose les recherches suscitées par le postulat d'Euclide qui ont amené au développement de la méthode axiomatique. Le triomphe de l'atomisme, découvrant un monde où les notions élémentaires de la géométrie ne s'applíquent plus intégralement, vient rendre plus aigu encore le problème du fondement de la vérité géométrique et celui de la nature de l'espace. Grǎce à l'introduction de notions telles que celle de correspondance schématique et celle de modèle, la géométrie apparaǐt comme une science rationnelle en évolution et à laquelle l'axiomatique sert de critère. Mais bien loin de présenter les caractères d'une pure rationalité, cette axiomatique retient certaines données intuitives, měme dans son application aux géométries non euclidiennes; elle organise un contrǒle de nos intuitions les plus élémentaires les unes par les autres, et assure par leur intermédiaire la portée expérimentale et la cohérence de la géométrie. On assiste ainsi à une véritable mutation de l'élémentaire; mais celle‐ci n'est pas due au hasard. La méthode qui a présidé à cette transformation, dont les étapes historiques sont décrites, est clairement dégagée et il est visible qu'elle régit également les formes nouvelles de la physique dont la constitution théorique ne diffère pas essentiellement de la géométrie considérée comme la science rationnelle de l'espace. Cette méthode est le statut d'une science ouverte. Ainsi se trouve pleinement légitimé un exposé comme celui de M. Bouligand. En s'illustrant l'un l'autre, les deux ouvrages offrent des horizons nouveaux à l'enseignement, měme élémentaire, de la géométrie. La portée philosophique de ces ouvrages n'est pas moindre que leur portée pédagogique.ZusammenfassungIn der voranstehenden Besprechung möchte der Rezensent insbesondere diejenigen unter den Lesern, die die Elemente unterrichten, auf zwei bedeutende Geometriewerke hinweisen. G. Bouligands knapp gehaltene Schrift stellt den algebraisch‐logischen Aufbau dieser Wissenschaft ins Licht und bietet eine Axiomatik, die die Begriffe der Menge und der Transformations‐gruppe einführt. Ausgehend von der passenden Lösungsart gelangt der Verfasser zu einer fortschreitenden Klassifizierung der Aufgaben. In seinem viel breiter angelegten Werk untersucht F. Gonseth das in den klassischen Lehrbüchern als das Elementare angesehene vom intuitiven, experimentellen und theoretischen Gesichtspunkte aus und macht daran anschliessend mit den von Euklids Postulat ausgehenden Nachforschungen, die zur Entwicklung der axiomatischen Methode geführt haben, bekannt. Der eigentliche Siegeszug des Atomismus und die mit dieser Wissenschaft verbundene Entdeckung einer Welt, in der die grundsätzlichen Begriffe der Geometrie ihre volle Bestätigung nicht mehr erfahren, macht die Frage nach den Grundlagen der Geometrie und die nach dem Wesen des Raums besonders brennend. Die Einführung von Begriffen wie Schema und Modell lässt die Geometrie als eine in Entwicklung begriffene Rationalwissenschaft erscheinen, welcher die Axiomatik als Prüfstein dient. Letztere trägt aber durchaus nicht die Züge reiner Vernunftmässigkeit, sie hält vielmehr, selbst in ihrer Anwendung auf die nichteuklidischen Geometrien, an gewissen intuitiven Voraussetzungen fest; sie ermöglicht eine wechselseitige Kritik unserer elementarsten intuitiven Erkenntnisse unter sich und gewährleistet so die experimentelle Tragweite und die Kohärenz der Geometrie. Es findet also eine eigentliche Mutation des Elementaren statt, doch bleibt dieser Wandel nicht dem Zufall überlassen. Die Planmässigkeit, mit der er sich vollzog, wird unter Beschreibung der geschichtlichen Entwicklungsstufen klar dargelegt, womit erkennbar wird, dass er auch die neueren Formen der Physik bestimmt, die sich ja nach ihrem theoretischen Grundgesetz von der Geometrie als der rationalen Wissenschaft vom Raume nicht wesentlich unterscheidet. Eine solche Methode erfüllt das Lebensgesetz einer offenen Wissenschaft. Durch sie finden Ausführungen wie die Bouligands ihre volle Rechtfertigung. Sich gegenseitig ergänzend und erläuternd eröffnen beide Werke selbst dem Elementarunterricht in der Geometrie neue Möglichkeiten. Der pädagogischen kommt ihre philosophische Bedeutung gleich.In the foregoing article the author endeavours—especially for all who are teaching the Elements—to set forth the significance and importance of two books about geometry. Mr. G. Bouligand's short writing brings out the algebraic and logical structure of that science and presents an »axiomatic« introducing both the notions of »whole« and »group of transformation«. A progressive classification of problems is thus elaborated according to the kinds of solutions that suit them. Mr. F. Gonseth, in his far more comprehensive work, analyses the intuitive, experimental and theoretical aspects of what used to constitute the elementary in classical treatises, then states the researches raised up by Euclid's postulate and leading to the development of the axiomatic method. The triumph of atomism, discovering a world to which the elementary notions of geometry do no longer apply fully, makes it still more difficult to solve the problems of the basing of both geometrical truth and the nature of space. Thanks to his introducing such ideas as »schematic correspondence« and »model«, geometry appears as a rational science in progress using the »axiomatic« as its criterion. But far from offering the characteristics of pure rationality, such an »axiomatic« retains some intuitive bases, even when applied to non‐Euclidian geometries; it organizes a control of our most elementary intuitions by setting them against one another, and secures through their medium the experimental significance and coherence of geometry. Thus a real mutation of the elementary takes place; but it is not owing to mere chance. The method which has presided over that transformation, the historical changes and stages of which are described, is clearly shown, and it is made evident that it also determines the new forms of physics, the theoretical constitution of which does not differ essentially from geometry considered as the rational science of space. That method is the statute of an open science. So Mr. Bouligand's account is fully justified. By elucidating each other, both books open new horizons to the teaching—even elementary—of geometry. The philosophical significance of those books is of no less importance than the pedagogical one. (shrink)

Leibniz introduit l’expression « ⁰⁄₀ » en 1672 dans un écrit mathématique sur les séries numériques pour exprimer la somme des unités. Il s’agit très probablement d’une des premières apparitions de cette expression dans l’histoire des mathématiques. Leibniz cependant l’abandonne aussitôt. Elle apparaît à nouveau dans le contexte du calcul différentiel au moment où celui-ci fait débat à l’Académie royale des sciences. Une des questions les plus saillantes soulevées par l’introduction du nouveau calcul est de savoir si la notion de (...) différentielle doit être distinguée, dans la pratique, du zéro absolu. Cet article examine les efforts effectués, dans le cadre d’une nouvelle pratique mathématique, pour donner un sens à l’expression « ⁰⁄₀ ». On verra comment cette expression cesse de représenter une impossibilité algébrique, à condition de ne plus penser « 0 » comme un zéro absolu. Désormais, elle est le signe de l’existence d’une singularité d’une courbe. L’analyse de cette construction de sens met en évidence combien la représentation diagrammatique des caractères impliqués dans le calcul était importante pour les premiers pratiquants du calcul différentiel. (shrink)

La théorie des catégories vaut tant par ses applications mathématiques que par les débats philosophiques qu’elle suscite. Elle sert à exprimer en topologie algébrique, à déduire en algèbre homologique et, en tant qu’alternative à la théorie des ensembles, à construire des objets en géométrie algébrique dans la conception de Grothendieck. La théorie des catégories est une discipline fondamentale en le sens de Christian Thiel, car elle traite d’opérations typiques de la mathématique de structures. Cette thèse est défendue (...) à l’aide d’une interprétation particulière du pragmatisme peircéen d’après laquelle la justification de la connaissance mathématique ne se fait pas par la réduction à des objets de base mais plutôt, à chaque niveau, par rapport au sens commun technique (les théories de niveau ultérieur ont pour objets les théories des objets originaux). (shrink)

Dans sa thèse complémentaire intitulée « Essai sur l’unité des sciences mathématiques dans leur développement actuel » Albert Lautman analysa la question de l’unité des mathématiques en considérant différentes paires antithétiques de concepts mathématiques, notamment le continu et le discret. Dans le cadre de sa refonte de la géométrie algébrique abstraite, le mathématicien français Alexandre Grothendieck considéra également l’opposition traditionnelle du continu et du discret selon un cadre conceptuel fort similaire à celui de Lautman. En comparaison, l’introduction du (...) concept de topos lui permit de donner une réponse strictement mathématique et parfaitement claire à cette question.Albert Lautman’s complementary thesis, entitled “Essai sur l’unité des sciences mathématiques dans leur développement actuel”, analysed the unity of mathematics through various antithetical pairs of mathematical concepts such as the continuous and the discrete. As part of his renewal of abstract algebraic geometry, French mathematician Alexandre Grothendieck also considered the traditional opposition between the continuous and the discrete and adopted a conceptual framework very similar to that of Lautman. However, the topos concept allowed Grothendieck to come up with a purely mathematical and, in comparison, much clearer solution. (shrink)

Grassmann n’est pas le premier à créer un nouveau calcul :Möbius, Hamilton, Bellavitis, Cauchy, et bien d’autres l’ont précédé dans cette voie qui témoigne de toute l’importance des mutations subies par l’algèbre et de l’évolution des rapports complexes entretenus entre ce domaine et son « exacte contrepartie » la Géométrie euclidienne : à l’heure où s’élaborent les premières « structures » et les « morphismes », la géométrie euclidienne perd son statut de « critère de vérité » et (...) d’« existence » des entités algébriques, notamment dénoncé par un prétendu « retour à la rigueur ».L’introduction « philosophique », décriée par ses contemporains ne voyant là que « fausse philosophie », ne pouvait être impunément écartée : la « seconde » Ausdehnungslehre de 1862 (A2) — pourtant proposée telle une nouvelle version rédigée conformément au style « souhaité » par son époque — ne conviendra pas plus à ses trop rares lecteurs. Tout lecteur averti reconnaît que A2ne peut être parfaitement entendu sans les nécessaires éclaircissements de A1.Trois points nous paraissent aujourd’hui significatifs :– L’Ausdehnungslehre est une science formelle qui trouve sa place dans le système mathématique de Grassmann. Ce système « améliore » celui déjà classique (notamment connu du père de Grassmann) qui résulte du croisement entre les deux contrastes fluants « continu/discret » et « distinct/égal ».– L’Ausdehnungslehre admet la géométrie comme première « application » remarquable. La géométrie [Geometrie] (ou encore la théorie de l’espace [Raumlehre]) est devenue une science réelle (l’espace préexiste), elle ne peut donc légitimement figurer au sein de la mathématique pure.– Une partie précède la séparation en les quatre branches précédentes de la mathématique pure (ou théorie des formes). La théorie générale des formes présente leurs lois communes, soit cette série de vérités qui, de la même manière se rapportent à toutes les branches des mathématiques et qui ne supposent donc que les concepts généraux d égalité, de diversité, de liaison et de séparation. (shrink)

Que lisaient les mathematiciens classiques dans une figure de geometrie, une courbe, un tableau de nombres, une combinaison de signes algebriques? En interrogeant le rapport de ce qui se lit et de ce qui se voit dans les textes mathematiques, cet ouvrage decouvre, entre l'age classique et le XIXe siecle, une transformation de la rationalite plus profonde qu'on a coutume de le penser. Entre la geometrie de Descartes, les series de Leibniz et Bernoulli, la theorie des fonctions chez Euler et (...) Lagrange, et d'autre part les geometries du XIXe siecle, la logique de Boole ou l'analyse de Cauchy, il n'y a pas seulement un progres conceptuel, il y a en verite un basculement du regime de la representation, de l'ordre du langage et des choses. Ce livre n'est pas une histoire des mathematiques. Il est une archeologie de leur discours, en un sens proche de celui que Michel Foucault donnait a ce terme. (shrink)

La notion de lieu occupe dans le système cartésien une place stratégique : elle en manifeste la singularité tant dans le domaine de la physique que dans celui de la métaphysique. En physique, les difficultés sont nombreuses : comment Descartes parvient-il à édifier une philosophie naturelle qui produit, notamment, les lois du choc et celle de la chute des graves, dans un cadre conceptuel qui nie l'existence du vide ainsi que celle de lieux différents? Jusqu'à quel point peut-on parler d'une (...) mathématisation du réel pour un corps de doctrine aussi peu algébrique que possible? Le spectre du roman cartésien doit être chassé afin de saisir la science cartésienne dans sa nouveauté radicale. Mais dès lors que l'on s'interroge sur les motifs conceptuels qui empêchent Descartes d'élaborer une mathématisation du réel, dont la Géométrie semble lui donner les moyens et les Regulae la méthode, on est conduit à préciser la nature des procédures résolutoires de la pensée, leur portée et leurs limites et, ainsi, à entrer de plain-pied dans le champ de la mathématique, tout d'abord, puis dans celui de la métaphysique. Dire ce qu'est et ce que peut un corps s'énonce à partir du savoir de ce qu'est et de ce que peut l'esprit. En effet, Descartes attribue à l'esprit la force et la puissance, non seulement d'inventer et de produire du nouveau, mais également celle, très concrète, d'imprimer une nouvelle détermination aux mouvements des esprits animaux. On peut considérer que la force chez Descartes est indexée au spirituel plutôt qu'au corporel et qu'en dehors de la question singulière de l'Eucharistie, elle n'est efficace qu'à la condition de ne pas être localisée stricto sensu en termes de lieu : Dieu agit dans le monde pour autant qu'il n'en fait pas partie et la glande pinéale est le siège principal de l'âme, sedes et non pas locus. Cette lecture de l'œuvre cartésienne trouve ainsi dans la notion de lieu un thème d'étude particulièrement fécond, dans la mesure où elle est mobilisée à la fois dans la physique et les mathématiques cartésiennes, mais également dans la question de la localisation de Dieu dans le monde, dans celle du Christ sous les espèces consacrées, et dans celle de l'âme dans le corps. Ainsi d'un lieu à un autre, nous sommes conduits au cœur du système cartésien, par un mouvement d'approfondissement réciproque des perspectives. (shrink)

Les algèbres de dimensions supérieures libèrent les mathématiques de la restriction d'une notation purement linéaire. Elles aident ainsi à la modélisation de la géométrie et procurent une meilleure compréhension et plus de possibilités pour les calculs. Elles nous donnent de nouveaux outils pour l'étude de problèmes non-commutatifs, de dimension supérieure qui assurent le passage du local au global, en utilisant la notion d' «inverse algébrique de subdivision». Nous allons exposer comment ces idées sont venues aux auteurs en prolongeant (...) initialement la notion classique de groupe abstrait à celle de groupoïde abstrait, dont la composition n'est que partiellement définie, et qui ajoute une composante spatiale à la théorie habituelle des groupes. La théorie des noeuds nous fournit un exemple en indiquant comment une telle algèbre peut être utilisée pour décrire la structure d'un espace. Le prolongement à la dimension 2 utilise des compositions de carrés dans deux directions et la richesse de l'algèbre qui en résulte est montrée par certains calculs de dimension 2. La difficulté de la transition de la dimension 1 à la dimension 2 est également illustrée par la comparaison de la notion de carré commutatif à celle de cube commutatif - le traitement de cette dernière nécessitant de nouvelles notions. L'importance de la théorie des catégories est expliquée, de même que les possibilités de l'application d'algèbres de dimensions supérieures. (shrink)

La conception qu'Emmanuel Kant se faisait des mathematiques etait en parfaite consonance avec l'opinion philosophique la plus courante au XVIIIe siecle a l'egard de cette science. Il conviendrait par consequent de tenir davantage compte de l'histoire des idees scientifiques, ce qui permettrait de faire remarquer que la pensee kantienne releve d'un paradigme scientifique plus ancien, celui de la geometrie euclidienne (ou l'image reste intimement articulee au signe), alors que les critiques ordinairement adressees au Kant mathematicien s'appuient indirectement sur l'heritage de (...) la revolution algebrique par lequel le signe est desormais dissocie de l'image. Il convenait donc d'examiner dans le plus grand detail la maniere dont, a travers son oeuvre, Kant recevait et discutait les conceptions mathematiques de son temps, et en particulier la tension marquee entre la geometrie et l'arithmetique. Ce faisant, il redevient possible de recontextualiser le concept kantien d'intuition par rapport aux evidences de son temps, qui ne sont plus tout a fait les notres. Les reticences de Kant vis-a-vis des concepts les plus problematiques de l'algebre se laissent ainsi interpreter a nouveaux frais, faisant ressortir la signification de l'architectonique. (shrink)

With In Focus Sacred Geometry, learn the fascinating history behind this ancient tradition as well as how to decipher the geometrical symbols, formulas, and patterns based on mathematical patterns. People have searched for the meaning behind mathematical patterns for thousands of years. At its core, sacred geometry seeks to find the universal patterns that are found and applied to the objects surrounding us, such as the designs found in temples, churches, mosques, monuments, art, architecture, and nature. Learn the fundamental principles (...) behind: Interpreting the sacred symbolism and principles behind shapes Calculating numbers used in sacred geometry Applying the golden ratio and Fibonacci’s Sequence to objects Translating symbolic and geometrical letters and alphabets This accessible and beautifully designed guide to sacred geometry includes a frameable poster of the main sacred geometrical shapes and their unique, innate arrangements. The In Focus series applies a modern approach to teaching the classic body, mind, and spirit subjects. Authored by experts in their respective fields, these beginner's guides feature smartly designed visual material that clearly illustrates key topics within each subject. As a bonus, each book includes reference cards or a poster, held in an envelope inside the back cover, that give you a quick, go-to guide containing the most important information on the subject. (shrink)

A possible relevant meaning of Hilbert’s program is the following one: “give a constructive semantic for classical mathematics”. More precisely, give a systematic interpretation of classical abstract proofs about abstract objects, as constructive proofs about constructive versions of these objects.If this program is fulfilled we are able “at the end of the tale” to extract constructive proofs of concrete results from classical abstract proofs of these results.Dynamical algebraic structures or geometric theories seem to be a good tool for doing this (...) job. In this setting, classical abstract objects are interpreted through incomplete concrete specifications of these objects.The structure of axioms in geometric theories gives rise in a natural way to distributive lattices and pointfree topological spaces. Abstract objects correspond to classical points of these pointfree spaces.We shall insist on the Zariski spectrum of distributive lattices and commutative rings and give a constructive interpretation of the Krull dimension.We underline the fact that many abstract objects in classical mathematics can be viewed as points of spectral spaces corresponding to distributive lattices whose definition is concrete and natural.Two important facts are to be stressed.First, abstract proofs about points of these pointfree spaces can very often be reread as constructive proofs about constructible subsets of these spaces.Second, function spaces on these pointfree spaces are often explicitly used in elegant abstract theories. The structure of these function spaces is fully constructive: indeed by the compactness theorem, “all is finite”. The constructive rereading of the abstract proofs is in this setting is nothing but the simple constatation that abstract proofs use correctly axioms.RésuméUne manière pertinente de revisiter le Programme de Hilbert serait la suivante: « donner une sémantique constructive pour les mathématiques classiques ». Plus précisément donner une interprétation systématique des preuves classiques abstraites au sujet des objets abstraits, en terme de preuves constructives au sujet de contreparties constructives de ces objets abstraits.Si ce programme est rempli, nous sommes capables « à la fin de l’histoire » d’extraire des preuves constructives de résultats concrets à partir des preuves classiques abstraites de ces résultats.Les structures algébriques dynamiques, ou ce qui revient à peu près au même les théories géométriques, semblent être un bon outil pour réaliser ce travail. Dans cette optique, les objets abstraits des mathématiques classiques sont remplacés par des spécifications incomplètes mais concrètes de ces mêmes objets.La structure des théories géométriques donne naissance de manière naturelle à des treillis distributifs et à des espaces topologiques sans points. Les objets abstraits utilisés par les mathématiques classiques correspondent aux points classiques de ces espaces sans points.Dans cet article, nous illustrerons ce phénomène principalement avec le spectre de Zariski des treillis distributifs et celui des anneaux commutatifs, en indiquant notamment un équivalent constructif de la notion de dimension de Krull.Nous insistons sur le caractère extrêmement général de l’interpétation des objets abstraits idéaux des mathématiques classiques comme des points d’espaces spectraux associés à des treillis distributifs qui sont définis de façon naturelle et concrète.Souligons deux faits d’expérience importants.Tout d’abord, les preuves abstraites au sujet des points de ces espaces sans points peuvent en général être relues comme des preuves concernant les parties constructibles de ces espaces.Enfin, les espaces de fonctions continues sur ces espaces sans points sont souvent utilisés dans d’élégantes théories abstraites. Ces espaces de fonctions sont bien définis constructivement. Cela tient au « théorème de compacité » qui nous dit que dans le cadre en question « tout est fini ». La relecture constructive des preuves abstraites n’est alors rien d’autre que la constatation que les axiomes géométriques sont utilisés de manière correcte. (shrink)

Geometry, etymologically the “science of measuring the Earth”, is a mathematical formalization of space. Just as formal concepts of number may be rooted in an evolutionary ancient system for perceiving numerical quantity, the fathers of geometry may have been inspired by their perception of space. Is the spatial content of formal Euclidean geometry universally present in the way humans perceive space, or is Euclidean geometry a mental construction, specific to those who have received appropriate instruction? The spatial content of the (...) formal theories of geometry may depart from spatial perception for two reasons: first, because in geometry, only some of the features of spatial figures are theoretically relevant; and second, because some geometric concepts go beyond any possible perceptual experience. Focusing in turn on these two aspects of geometry, we will present several lines of research on US adults and children from the age of three years, and participants from an Amazonian culture, the Mundurucu. Almost all the aspects of geometry tested proved to be shared between these two cultures. Nevertheless, some aspects involve a process of mental construction where explicit instruction seem to play a role in the US, but that can still take place in the absence of instruction in geometry. (shrink)

Customary interpretations state that Tractarian thoughts are pictures, and, a fortiori, facts. I argue that important difficulties are unavoidable if we assume this standard view, and I propose a reading of the concept taking advantage of an analogy that Wittgenstein introduces, namely, the analogy between thoughts and projective geometry. I claim that thoughts should be understood neither as pictures nor as facts, but as acts of geometric projection in logical space. The interpretation I propose thus removes the root of the (...) identified difficulties. Moreover, it allows important clarification concerning some central aspects of the Tractarian theory of representation, and it yields a unifying elucidation regarding Wittgenstein’s remarks on the solipsistic thesis. (shrink)

Does geometry constitues a core set of intuitions present in all humans, regarless of their language or schooling ? We used two non verbal tests to probe the conceptual primitives of geometry in the Munduruku, an isolated Amazonian indigene group. Our results provide evidence for geometrical intuitions in the absence of schooling, experience with graphic symbols or maps, or a rich language of geometrical terms.

The geometry of the state space of a finite-dimensional quantum mechanical system, with particular reference to four dimensions, is studied. Many novel features, not evident in the two-dimensional space of a single spin, are found. Although the state space is a convex set, it is not a ball, and its boundary contains mixed states in addition to the pure states, which form a low-dimensional submanifold. The appropriate language to describe the role of the observer is that of flag manifolds.

The Aristotelian square of oppositions is a well-known diagram in logic and linguistics. In recent years, several extensions of the square have been discovered. However, these extensions have failed to become as widely known as the square. In this paper we argue that there is indeed a fundamental difference between the square and its extensions, viz., a difference in informativity. To do this, we distinguish between concrete Aristotelian diagrams and, on a more abstract level, the Aristotelian geometry. We then introduce (...) two new logical geometries, and develop a formal, well-motivated account of their informativity. This enables us to show that the square is strictly more informative than many of the more complex diagrams. (shrink)

In his Rules for the Direction of the Mind, Descartes elevates arithmetic and geometry to the status of paradigms for all the sciences, because of the potential for certainty in their results. This emphasis on certainty is present throughout the Cartesian corpus, but in the Rules and other early works the substance dualism characteristic of Cartesian philosophy is not as obvious. However, when several key concepts from this early work are considered together, it becomes clear that Cartesian dualism necessarily follows. (...) The most important of these concepts are: Descartes’s rejection of the Scholastic theory of sense data in favor of a telecommunicative theory of perception; his innovative reconceptualization of mathematics in which he treats number and magnitude as interchangeable, making use of the symbolism of algebra; his frequent use of visual metaphors to describe perception in general, as well as other cognitive activity. It is in consideration of this third point that Descartes’s treatment of the imagination shows its importance, for the relationship of the imagination to the intellect parallels that of geometric figures to algebraic formulae. Though the role of the imagination in the Rules seems to make the status of a dualist ontology in this work more ambiguous, this paper will argue that in fact it is precisely in the treatment of imagination that one can find the traces of a fully developed substance dualism. (shrink)

Geometry and Chronometry in Philosophical Perspective was first published in 1968. Minnesota Archive Editions uses digital technology to make long-unavailable books once again accessible, and are published unaltered from the original University of Minnesota Press editions. In this volume Professor Grünbaum substantially extends and comments upon his essay "Geometry, Chronometry, and Empiricism," which was first published in Volume III of the Minnesota Studies in the Philosophy of Science. Commenting on the essay when it first appeared J. J. C. Smart wrote (...) in Mind (England): "In my opinion Adolf Grünbaum's paper ... supersedes nearly all that has been written on the logical status of physical geometry and chronometry." The full text of the essay is given here with the author's extension of it and his discussion of some of the critical comment it has evoked, particularly, a critique published by Hilary Putnam. Adolph Grünbaum is Andrew Mellon Professor of Philosophy at the University of Pittsburgh and the current president of the Philosophy of Science Association. (shrink)

Whereas geometrical oppositions (logical squares and hexagons) have been so far investigated in many fields of modal logic (both abstract and applied), the oppositional geometrical side of “deontic logic” (the logic of “obligatory”, “forbidden”, “permitted”, . . .) has rather been neglected. Besides the classical “deontic square” (the deontic counterpart of Aristotle’s “logical square”), some interesting attempts have nevertheless been made to deepen the geometrical investigation of the deontic oppositions: Kalinowski (La logique des normes, PUF, Paris, 1972) has proposed a (...) “deontic hexagon” as being the geometrical representation of standard deontic logic, whereas Joerden (jointly with Hruschka, in Archiv für Rechtsund Sozialphilosophie 73:1, 1987), McNamara (Mind 105:419, 1996) and Wessels (Die gute Samariterin. Zur Struktur der Supererogation, Walter de Gruyter, Berlin, 2002) have proposed some new “deontic polygons” for dealing with conservative extensions of standard deontic logic internalising the concept of “supererogation”. Since 2004 a new formal science of the geometrical oppositions inside logic has appeared, that is “ n -opposition theory”, or “NOT”, which relies on the notion of “logical bi-simplex of dimension m ” ( m = n − 1). This theory has received a complete mathematical foundation in 2008, and since then several extensions. In this paper, by using it, we show that in standard deontic logic there are in fact many more oppositional deontic figures than Kalinowski’s unique “hexagon of norms” (more ones, and more complex ones, geometrically speaking: “deontic squares”, “deontic hexagons”, “deontic cubes”, . . ., “deontic tetraicosahedra”, . . .): the real geometry of the oppositions between deontic modalities is composed by the aforementioned structures (squares, hexagons, cubes, . . ., tetraicosahedra and hyper-tetraicosahedra), whose complete mathematical closure happens in fact to be a “deontic 5-dimensional hyper-tetraicosahedron” (an oppositional very regular solid). (shrink)

Finsler geometry on the tangent bundle appears to be applicable to relativistic field theory, particularly, unified field theories. The physical motivation for Finsler structure is conveniently developed by the use of “gauge” transformations on the tangent space. In this context a remarkable correspondence of metrics, connections, and curvatures to, respectively, gauge potentials, fields, and energy-momentum emerges. Specific relativistic electromagnetic metrics such as Randers, Beil, and Weyl can be compared.

Summary The philosophical implications associated with the choice of a particular geometry required for the formulation of a dynamics at subnuclear distances are discussed. A dualism between geometry and matter — the former identified with a fiber bundle of Cartan type raised over space-time, the latter represented by a generalized quantum mechanical wave function — is presented as a possible framework for the dynamics of strongly interacting particles at distances of 10-13 cm.

Thomas C. Vinci argues that Kant's Deductions demonstrate Kant's idealist doctrines and have the structure of an inference to the best explanation for correlated domains. With the Deduction of the Categories the correlated domains are intellectual conditions and non-geometrical laws of the empirical world. With the Deduction of the Concepts of Space, the correlated domains are the geometry of pure objects of intuition and the geometry of empirical objects.

We investigate the geometry of forking for SU-rank 2 elements in supersimple ω-categorical theories and prove stable forking and some structural properties for such elements. We extend this analysis to the case of SU-rank 3 elements.

The notion of linguistic geometry is defined in this book. It is pertinent to keep in the record that linguistic geometry differs from classical geometry. Many basic or fundamental concepts and notions of classical geometry are not true or extendable in the case of linguistic geometry. Hence, for simple illustration, facts like two distinct points in classical geometry always define a line passing through them; this is generally not true in linguistic geometry. Suppose we have two linguistic points as tall (...) and light we cannot connect them, or technically, there is no line between them. However, let's take, for instance, two linguistic points, tall and very short, associated with the linguistic variable height of a person. We have a directed line joining from the linguistic point very short to the linguistic point tall. In this case, it is important to note that the direction is essential when the linguistic variable is a person's height. The other way line, from tall to very short, has no meaning. So in linguistic geometry, in general, we may not have a linguistic line; granted, we have a line, but we may not have it in both directions; the line may be directed. The linguistic distance is very far. So, the linguistic line directed or otherwise exists if and only if they are comparable. Hence the very concept of extending the line infinitely does not exist. Likewise, we cannot say as in classical geometry; three noncollinear points determine the plane in linguistic geometry. Further, we do not have the notion of the linguistic area of well-defined figures like a triangle, quadrilateral or any polygon as in the case of classical geometry. The best part of linguistic geometry is that we can define the new notion of linguistic social information geometric networks analogous to social information networks. This will be a boon to non-mathematics researchers in socio-sciences in other fields where natural languages can replace mathematics. (shrink)

In mathematics textbooks and special mathematical treatises, themes and theses of Arthur Schopenhauer's elementary geometry appear again and again. Since Schopenhauer's geometry or philosophy of geometry was considered exemplary in the 19th and early 20th centuries in its relation to figures and thus to the intuition, the two-hundred-year reception history sketched in this paper also follows the evaluation of intuition-related geometries, which depends on the mathematical paradigms.

The political integration of the European Union is fragile for many reasons, not least the reassertion of nationalism. That said, if we examine specific practices and infrastructures, a more complicated story emerges. We juxtapose the political fragility of the EU in relation to the ongoing formation of data infrastructures in official statistics that take part in postnational enactments of Europe’s populations and territories. We develop this argument by analyzing transformations in how European populations are enacted through new technological infrastructures that (...) seek to integrate national census data in “cubes” of cross-tabulated social topics and spatial “grids” of maps. In doing so, these infrastructures give meaning to what “is” Europe in ways that are both old and new. Through standardization and harmonization of social and geographical spaces, “old” geometries of organizing and mapping populations are deployed along with “new” topological arrangements that mix and fold categories of population. Furthermore, we consider how grids and cubes are generative of methodological topologies by closing the distances or differences between methods and making their data equivalent. By paying attention to these practices and infrastructures, we examine how they enable reconfiguring what is known and imagined as Europe and how it is governed. (shrink)

According to Kepler and Descartes, the geometry of the triangle formed by the two eyes when focused on a single point affords perception of the distance to that point. Kepler characterized the processes involved as associative learning. Descartes described the processes as a “ natural geometry.” Many interpreters have Descartes holding that perceivers calculate the distance to the focal point using angle-side-angle, calculations that are reduced to unnoticed mental habits in adult vision. This article offers a purely psychophysiological interpretation of (...) Descartes’s natural geometry. In his account of perceived limb position from the Treatise on Man, he envisioned a central brain state that controls ocular convergence and thereby co-varies with the distance from observer to object. A psychophysiological law relates the visual perception of distance to this brain state. Descartes also invokes more traditional theories of distance and size perception based on unnoticed judgments, yielding a hybrid account. (shrink)

Graphic pattern (e.g. geometric design) and number-based code (e.g. digital sequencing) can store and transmit complex information more efficiently than referential modes of representation. The analysis of the two genres and their relation to one another has not advanced significantly beyond a general classification based on motion-centred geometries of symmetry. This article examines an intriguing example of patchwork coverlets from the maritime societies of Oceania, where information referencing a complex genealogical system is lodged in geometric designs. By drawing attention to (...) the interplay of graphic pattern and number-based code and its role in the knowledge economies of maritime societies, the article offers new insight into possible ways of designing a digital informational surface that captures the behaviour of an operational system, allowing both for differentiation and integration. (shrink)

The article analyzes in detail the assumptions and the proofs typical of the research field of the geometry of burning mirrors. It emphasizes the role of two propositions of the Archimedean Quadratura parabolae, never brought to bear on this subject, and of a complex system of projections reducing a sumptōma of a parabola to some specific linear lemmas. On the grounds of this case-study, the much-debated problem of the heuristic role of analysis is also discussed.

An argument is given that Euclidean geometry is a priori in the same way that numbers are a priori, the result of modeling, not the world, but our activities in the world.

Spatial perception and spatial representation are not less central to experimental psychology than to visual art. Geometry allows their description and formalization. Therefore, geometrical language can be considered as a kind of generative grammar, which is embedded in the human perceptual experience of space. The paper outlines the suggestion that Euclidean geometry, along with most perspective geometries, even when applied to geometrical problem solving, have phenomenal bases, since they emerge from direct experience of the world, and not necessarily from higher (...) order cognitive processes. (shrink)

In order to modelize the reasoning of an intelligent agent represented by a poset T, H. Rasiowa introduced logic systems called “Approximation Logics”. In these systems a set of constants constitutes a fundamental tool. In this papers, we consider logic systems called L′T without this kind of constants but limited to the case where T is a finite poset. We prove a weak deduction theorem. We introduce also an algebraic semantics using Hey ting algebra with operators. To prove the completeness (...) theorem of the L′T system with respect to the algebraic semantics, we use the method of H. Rasiowa and R. Sikorski for first order logic. In the propositional case, a corollary allows us to assert that it is decidable to know “if a propositional formula is valid”. We study also certain relations between the L′T logic and the intuitionistic and classical logics. (shrink)

Quantum geometry on a discrete set means a directed graph with a weight associated to each arrow defining the quantum metric. However, these ‘lattice spacing’ weights do not have to be independent of the direction of the arrow. We use this greater freedom to give a quantum geometric interpretation of discrete Markov processes with transition probabilities as arrow weights, namely taking the diffusion form ∂+f = f for the graph Laplacian Δθ, potential functions q, p built from the probabilities, and (...) finite difference ∂+ in the time direction. Motivated by this new point of view, we introduce a ‘discrete Schrödinger process’ as ∂+ψ = ıψ for the Laplacian associated to a bimodule connection such that the discrete evolution is unitary. We solve this explicitly for the 2-state graph, finding a 1-parameter family of such connections and an induced ‘generalised Markov process’ for f = |ψ|2 in which there is an additional source current built from ψ. We also mention our recent work on the quantum geometry of logic in ‘digital’ form over the field F2 = {0, 1}, including de Morgan duality and its possible generalisations. (shrink)

It is shown how to identify potential signatures of noncommutative geometry within the decay spectrum of a muon in orbit near the event horizon of a microscopic Schwarzschild black hole. This possibility follows from a re-interpretation of Moffat’s nonsymmetric theory of gravity, first published in Phys. Rev. D 19:3554, 1979, where the antisymmetric part of the metric tensor manifests the hypothesized noncommutative geometric structure throughout the manifold. It is further shown that for a given sign convention, the predicted signatures counteract (...) the effects of curvature-induced muon stabilization predicted by Singh and Mobed in Phys. Rev. D 79:024026, 2009. While it is unclear whether evidence for noncommutative geometry may become observable anytime soon, this approach at least provides a useful direction for future quantum gravity research based on the ideas presented here. (shrink)

In Mathematiklehrbüchern und mathematischen Spezialabhandlungen tauchen bis heute immer wieder Themen und Thesen der Schopenhauerschen Elementargeometrie auf. Da Schopenhauers Geometrie bzw. Philosophie der Geometrie in ihrer Figuren- und damit Anschauungsbezogenheit im 19. und frühen 20. Jahrhundert exemplarisch galt, folgt die hier skizzenhaft dargestellte zweihundertjährige Rezeptionsgeschichte auch der von den mathematischen Paradigmen abhängenden Bewertung anschauungsbezogener Geometrien.

This book reconstructs, both from the historical and theoretical points of view, Leibniz's geometrical studies, focusing in particular on the research Leibniz ...

This book aims to provide an overview of several topics in advanced Differential Geometry and Lie Group Theory, all of them stemming from mathematical problems in supersymmetric physical theories. It presents a mathematical illustration of the main development in geometry and symmetry theory that occurred under the fertilizing influence of supersymmetry/supergravity. The contents are mainly of mathematical nature, but each topic is introduced by historical information and enriched with motivations from high energy physics, which help the reader in getting a (...) deeper comprehension of the subject. (shrink)

I use recent work on Kant and diagrammatic reasoning to develop a reconsideration of central aspects of Kant’s philosophy of geometry and its relation to spatial intuition. In particular, I reconsider in this light the relations between geometrical concepts and their schemata, and the relationship between pure and empirical intuition. I argue that diagrammatic interpretations of Kant’s theory of geometrical intuition can, at best, capture only part of what Kant’s conception involves and that, for example, they cannot explain why Kant (...) takes geometrical constructions in the style of Euclid to provide us with an a priori framework for physical space. I attempt, along the way, to shed new light on the relationship between Kant’s theory of space and the debate between Newton and Leibniz to which he was reacting, and also on the role of geometry and spatial intuition in the transcendental deduction of the categories. (shrink)

The Ethics of Geometry is a study of the relationship between philosophy and mathematics. Essential differences in the ethos of mathematics, for example, the customary ways of undertaking and understanding mathematical procedures and their objects, provide insight into the fundamental issues in the quarrel of moderns with ancients. Two signal features of the modern ethos are the priority of problem-solving over theorem-proving, and the claim that constructability by human minds or instruments establishes the existence of relevant entities. These figures are (...) combined in the emblematic statement of Salomon Maimon, "In mathematical construction we are, as it were, gods." Construction is the mark of modernity. The disciplines of classical philology, literary interpretation and the history of philosophy and of mathematics are woven together in this volume. (shrink)