RésuméLa qualité essentielle d'un mathématicien est l'imagination; la logique ne sert qu'à mettre les démonstrations sous une forme irréfutable, elle est incapable de les suggérer. L'imagination se fonde sur une sorte d'« intuition » des objets mathématiques étudiés, mais cela n'a que très peu de contact avec ce qu'on appelle d'ordinaire l'« intuition » sensible, les objets mathématiques considérés étant le plus souvent l'aboutissement d'un long processus d'abstraction qui leur ǒte toute possibilité de représentation concrète. Cette « (...) class='Hi'>intuition » mathématique est avant tout le résultat d'une longue familiarité avec le sujet étudié; mais en outre il peut s'opérer des « transferts » d'intuition d'une théorie dans une autre; on en donne quelques exemples qui font ressortir la fécondité de tels transferts. (shrink)

Beth has tried to vindicate the kantian doctrine of mathematical intuition in the frame of contemporary logic. The paper proposes a critical evaluation of this attempt. The theory of mathematical intuition that is exposed in the Critic of Pure Reason is twofold: on one hand, the intuition of the "first principles", as it is analyzed in the Aesthetics, on the other hand, the intuition which is involved in the proofs, as it is analyzed in the Methodology. (...) Contrasting with most defenders of Kant, who try to show that the first kind of intuition remains, in some way, compatible with the non-euclidean geometries, Beth wants to defend the second kind of intuition, by suggesting that it is nothing else than the "instanciation" method, well-known in the predicate calculus. I show that this strategy of defending Kant is unsuccessful. (shrink)

English summary: This ambitious study proposes an analysis of intuition that will allow us to understand it cognitive role in the justification of our beliefs and philosophical and mathematical reasoning. The book first demonstrates that the cognitive function of intuition passes through a semiotic system before situating the semantic treatment of intuition in the context of classic problems in philosophy, logic, and mathematics. French description: Proposer une symptomatique de l'intuition nous permettant de comprendre son fonctionnement cognitif (...) dans la justification de nos croyances et de nos raisonnements philosophiques et mathematiques, tel est le defi releve dans ce livre. La premiere partie montre que la fonction cognitive de l'intuition dans la comprehension et la justification passe par l'utilisation d'un systeme semiotique. Un tel systeme est utilise intuitivement si, dans une action situee, les aspects significatifs et representatifs sont interdependants. Une demande de legitimation de ce qui est represente ne se place pas au meme niveau de reflexion que celui de l'intuition. Qu'elle puisse etre a la fois evidente et faillible n'a des lors rien de paradoxal. La deuxieme partie montre qu'envisager l'intuition dans une symptomatologie ne nous eloigne pas de la tradition philosophique. Au contraire, le traitement semantique de la question de l'intuition eclaire certains problemes classiques en philosophie, en logique et en mathematiques; et il permet de relire a nouveaux frais aussi bien Aristote, Descartes ou Kant, que Helmholtz, Poincare, Brouwer, Weyl, Beth et Cavailles. (shrink)

Reviewed by F. PATRAS, Laboratoire J.-A. Dieudonné, Université Côte d'Azur and CNRS, Nice, France. [email protected] those who are interested in Husserl’s philosophy of mathematics and its links w...

L’auteur cherche à montrer cru’un appel à l’évidence intuitive pour fonder les mathématiques n’est ni rejetable, ni évitable,. Cet appel à l’intuition nécessite un fondement subjectif des mathématiques à côté du fondement objectif.

_Dominique Pradelle. ** Intuition et idéalités. Phénoménologie des objets mathématiques _ [Intuition and idealities: Phenomenology of mathematical objects.] Collection Épiméthée. Paris: PUF [Presses universitaires de France], 2020. Pp. 550. ISBN: 978-2-13-082237-0.

Les mathématiques telles qu’elles se sont développées entre 1935 et 1970 jouent un rôle très important dans La Méthode. Ce rôle est explicite en ce qui concerne la logique, plus implicite en ce qui concerne la théorie du contrôle, l’incertitude, et certaines notions vues hors du champ mathématique et particulièrement probabiliste . Sur un exemple de résultats récents de la logique mathématique, la correspondance de Curry-Howard et les travaux de Jean-Louis Krivine nous montrent la pertinence des idées et (...) des intuitions d’Edgar Morin concernant la logique, la réalité et le cerveau.Mathematics as they are developed between 1935 and 1970 played a very important role in the method. This role is explicit with respect to the logical, implied regarding control theory, uncertainty, and some notions out of the field and especially mathematical probability . On a recent example of results of mathematical logic, the Curry-Howard correspondence and the work of Jean-Louis Krivine show the relevance of the ideas and insights of Edgar Morin on logic, reality and brain. (shrink)

RésuméL'auteur rappelle tout d'abord que, sous le měme titre, il a publié en 1936 un ouvrage qui vient d'ětre rééditéà la Librairie A. Blanchard.Dans un premier chapitre, l'auteur compare certains titres de cet ouvrage avec ceux proposés par les rapporteurs du colloque. Les deuxième et troisième chapitres posent la question de l'autonomie totale des mathématiques telle que les recherches formalistes l'ont abordée à travers certaines études récentes et concluent à l'impossibilité d'une autonomie totale.En conclusion, l'exercice des mathématiques se présente comme (...) une synthèse dialectique entre trois aspects irréductibles entre eux, l'aspect théorique de la conception et de la matière des formes mathématiques, l'aspect expérimental où les formes mathématiques se chargent de leur fonction informationnelle et l'intuition par laquelle se manifeste le pouvoir de création de la personne mathématicienne. (shrink)

Résumé — L’objet de cet article est de chercher à déterminer quel est le statut des possibles en mathématiques en montrant comment, à partir de l’analyse proposée par Kripke du mécanisme des illusions modales, il serait possible, conformément aux intuitions initiales de Putnam, de concilier réalisme et modalités. Si l’enjeu du réalisme mathématique est en effet de rendre compte de l’objectivité des mathématiques et non de l’existence de prétendus objets, nous pouvons concevoir une forme de réalisme qui ne sacrifierait (...) pas une réelle ouverture des possibles, pour peu que l’on apprécie dans toute sa complexité la double spécificité sémantique que constituent, en mathématiques, le recours aux descriptions imparfaites et la concurrence des langages.— Are there Kripkean metaphysical possibilities in mathematics ? Or should we stick to epistemic possibilities ? Generalizing the Kripkean account of the mechanism generating modal illusions, this paper investigates how we could make mathematical realism and modal knowledge compatible. Following Putnam’s insight according to which realism should deal with objectivity of mathematics rather than with mathematical objects, I’ll try to sketch a variety of modal knowledge rooted in a twofold semantic fact, peculiar to mathematics, viz. the use of imperfect descriptions and the stacking up of alternative language levels. (shrink)

Qu'est que la mathematique? Quel role y joue l'intuition? Sur quels principes repose-t-elle? Les Premiers ecrits de Bolzano proposent une reponse. Ils reunissent les oeuvres philosophiques, logiques et mathematiques les plus representatives de la periode de son activite publique, de 1804 a sa revocation de l'universite en 1819, et sont groupes autour de deux textes fondamentaux: les Contributions a un expose mieux fonde de la mathematique (1810) et la Demonstration purement analytique (1817), completee par des extraits de la Theorie (...) des fonctions. Les Contributions, bien que tributaires en partie de Kant, renouvellent l'heritage leibnizien en soulignant le caractere objectif de la science. Accueillies par Goethe - un petit ouvrage distingue par sa valeur et son esprit - et commentees par Husserl, elles constituent une premiere etude moderne des fondements de la mathematique, dont les notions de demonstration et d'organisation deductive du savoir sont les pivots. En annexe, Bolzano offre une critique penetrante de la philosophie de Kant. La Demonstration purement analytique, un petit classique d'histoire et de philosophie de la mathematique, inaugure avant Cauchy l'arithmetisation de l'analyse infinitesimale. Ces ecrits sont precedes d'une Introduction qui les etudie dans leurs contexte politique, culturel et scientifique. (shrink)

A la fin du XVIIIe siècle, Emmanuel Kant pouvait encore voir dans les mathématiques le modèle même des jugements synthétiques a priori, c'est-à-dire dotés d'un contenu intuitif propre quoique non dérivé de l'expérience sensible. Des géométries non-euclidiennes à la théorie des transfinis de Cantor, les mathématiques du XIXe siècle vont cependant faire triompher des systèmes mathématiques résolument déductifs et non plus intuitifs. Sur fond d'interrogations quant à la légitimité de ces développements récents, interrogations renforcées par la découverte de paradoxes, d'âpres (...) débats vont alors opposer différentes écoles quant aux méthodes de preuve acceptables ainsi que quant à ce qui constitue le fondement même du savoir mathématique. Logicisme, formalisme et intuitionnisme ; ce sont, à l'époque, pas moins de trois conceptions des mathématiques (et trois programmes pour les mathématiques) qui s'affrontent, conceptions auxquelles il faut ajouter le psychologisme, qui se nourrit de l'essor des sciences humaines et de leurs prétentions épistémologiques. En collant au plus près des textes des principaux protagonistes, l'ouvrage présente de manière tout à la fois synthétique et précise les différentes positions en présence, en soulignant autant que possible leurs divergences, mais en montrant aussi les variations et inflexions qui ont marqué leur développement durant la période 1870-1930. (shrink)

La conception des mathématiques chez Poincaré est une pièce maîtresse de sa théorie de la connaissance. Les mathématiques y jouent un rôle constitutif et médiateur, très proche de celui que Kant leur avait assigné dans sa Critique. Afin d’éclaircir les rapports complexes entre les notions d’intuition, de construction et de convention chez Poincaré, nous nous appuyons sur les analogies et les contrastes avec la source kantienne. La continuité et la cohérence de la théorie de la connaissance de Poincaré en (...) sortent renforcées.Poincaré’s philosophy of mathematics plays a key role in his general philosophy of knowledge. Mathematics is considered, by Poincaré, as a constitutive element of experience and it plays a “schematic” role between the conventional frameworks of geometry and theoretical physics on one hand and, on the other hand, sensations. We stress the Kantian roots of such a conception of mathematics, trying to explain the respective importance of the notions of intuition, construction and convention in Poincaré’s theory of knowledge. (shrink)

La présente étude questionne l’objectivité des mathématiques à travers l’analyse de la pratique mathématique, dans une modalité didactique. À travers des dialogues en classe (dans l’esprit de Lakatos), nous examinons la thèse, inspirée des travaux de Granger, que le développement de mathématiques formelles selon la méthode abstraite structuraliste ne se réduit pas à un langage mais engage un « contenu formel » qui se déploie dans une intuition symbolique. La didactique ou épistémologie expérimentale contribue ainsi à la philosophie (...) par un commentaire d’expériences et l’interprétation de significations, dans des regards croisés. (shrink)

La conception qu'Emmanuel Kant se faisait des mathematiques etait en parfaite consonance avec l'opinion philosophique la plus courante au XVIIIe siecle a l'egard de cette science. Il conviendrait par consequent de tenir davantage compte de l'histoire des idees scientifiques, ce qui permettrait de faire remarquer que la pensee kantienne releve d'un paradigme scientifique plus ancien, celui de la geometrie euclidienne (ou l'image reste intimement articulee au signe), alors que les critiques ordinairement adressees au Kant mathematicien s'appuient indirectement sur l'heritage de (...) la revolution algebrique par lequel le signe est desormais dissocie de l'image. Il convenait donc d'examiner dans le plus grand detail la maniere dont, a travers son oeuvre, Kant recevait et discutait les conceptions mathematiques de son temps, et en particulier la tension marquee entre la geometrie et l'arithmetique. Ce faisant, il redevient possible de recontextualiser le concept kantien d'intuition par rapport aux evidences de son temps, qui ne sont plus tout a fait les notres. Les reticences de Kant vis-a-vis des concepts les plus problematiques de l'algebre se laissent ainsi interpreter a nouveaux frais, faisant ressortir la signification de l'architectonique. (shrink)

We argue that the diagram is the equivalent of the Kantian schema, i.e. the translation into time and space of a meaning, and therefore of a concept, which would otherwise be empty. Understood as a schematic structure materialized in a support, the diagram is the explicitation of the meaning of the concept understood as a guide to action. We show why the class of judgements made by diagrammatic intuition is equivalent to that of the "steps" - the expression is (...) Peirce's – used to produce a theorem. Such an analysis allows us to argue in favour of the thesis that the schematism at work in the organic production of form is fundamentally diagrammatic in nature, which is why we speak of a diagrammatic schematism of morphogenesis. (shrink)

Ce dialogue confronte deux conceptions qui dominent jusqu’à nos jours la philosophie des mathématiques : d’un côté la conception kantienne qui souligne l’irréductible apport de l’intuition dans la formulation des axiomes, ainsi que l’effectivité des procédés de construction ; de l’autre côté la conception bolzanienne qui s’efforce d’éliminer toute intervention de l’intuition au profit des démonstrations et des procédés purement conceptuels.In this dialogue, two opposed conceptions, which dominate the philosophy of mathematics till today, are confronted. Kant’s account of (...) mathematics is based upon the activity of constructing mathematical objects in pure intuition . In yielding objects for mathematics, our intuition contributes in an essential way to the formulation of mathematical truths. Against Kant, Bolzano argues that intuition has place neither in arithmetic nor in geometry and that mathematical existence consists in the possibility of the defined objects. i.e. in non-contradiction. For Bolzano, the central idea of mathematics is that of rigorous proof. (shrink)

Les algèbres de dimensions supérieures libèrent les mathématiques de la restriction d'une notation purement linéaire. Elles aident ainsi à la modélisation de la géométrie et procurent une meilleure compréhension et plus de possibilités pour les calculs. Elles nous donnent de nouveaux outils pour l'étude de problèmes non-commutatifs, de dimension supérieure qui assurent le passage du local au global, en utilisant la notion d' «inverse algébrique de subdivision». Nous allons exposer comment ces idées sont venues aux auteurs en prolongeant initialement la (...) notion classique de groupe abstrait à celle de groupoïde abstrait, dont la composition n'est que partiellement définie, et qui ajoute une composante spatiale à la théorie habituelle des groupes. La théorie des noeuds nous fournit un exemple en indiquant comment une telle algèbre peut être utilisée pour décrire la structure d'un espace. Le prolongement à la dimension 2 utilise des compositions de carrés dans deux directions et la richesse de l'algèbre qui en résulte est montrée par certains calculs de dimension 2. La difficulté de la transition de la dimension 1 à la dimension 2 est également illustrée par la comparaison de la notion de carré commutatif à celle de cube commutatif - le traitement de cette dernière nécessitant de nouvelles notions. L'importance de la théorie des catégories est expliquée, de même que les possibilités de l'application d'algèbres de dimensions supérieures. (shrink)

La pensée du philosophe et mathématicien britannique Alfred North Whitehead (1861–1947) connaît un regain d'intérêt autant chez les philosophes anglo-saxons que chez les philosophes continentaux. Les contributions isolées sur les recherches logiques et mathématiques, sur les recherches épistémologiques et la philosophie de la nature, ou encore sur la métaphysique et le rôle des idées théologiques de cet auteur se multiplient. Il a semblé aux coordinateurs des « Chromatiques whiteheadiennes » — Michel Weber (Université catholique de Louvain) et Pierre Rodrigo (Université (...) de Bourgogne) — que le temps est mûr pour un développement en série de réunions internationales francophones dévolues à l'ensemble de ses positions philosophiques et à leur évolution. Le réseau « Chromatiques whiteheadiennes » a en conséquence pour objectif premier de fédérer les recherches sur les différents aspects, nuances et implications de la pensée de A. N. Whitehead. Si ses activités sont de facto ancrées dans l'horizon culturel francophone, elles n'en demeurent pas moins ouvertes, d’une part, au dialogue international (comme en témoigne la place qui est réservée aux communications en langue anglaise lors de nos réunions scientifiques) ; et d’autre part à des contributions, d’origine philosophique diverse, portant sur le concept de processus. À l'heure actuelle, deux types de réunions internationales sont programmées : des journées d'étude bilingues (Liège 2001, Louvain-la-Neuve 2003, Saint-Jodard 2005, Nantes 2005, Nice 2006, Huy 2007) et des séminaires de recherches en français qui assurent la continuité des contacts scientifiques entre chercheurs plus régulièrement que ne peuvent le faire les colloques. Ces séminaires sont le fruit d’une collaboration avec l'équipe « Philosophies de l'expérience » du Département de philosophie de l'Université de Nantes. Accueillis depuis 2002 par le Centre d'Études sur le Pragmatisme et la Philosophie Analytique (CEPPA), Université Paris 1 Panthéon Sorbonne-École Doctorale, ils ont pour but premier de mettre en contact les doctorands whiteheadiens et d'offrir un lieu de dialogue entre ceux-ci et chercheurs expérimentés. La collection « Chromatiques whiteheadiennes » est, à titre principal, l’organe des différentes activités promues par le réseau : elle accueille les Actes des journées d’étude et l’Annuaire (« Chromatikon ») qui publie, entre autre, le compte-rendu des séminaires les plus marquants. À titre secondaire, elle publie les monographies et ouvrages collectifs qui se veulent être le vecteur de la pensée du processus en francophonie, et ce tout spécialement lorsqu’elles promeuvent un dialogue interdisciplinaire. (shrink)

Bernard Bolzano (1781-1848) a passe toute sa vie en Boheme, qui faisait encore partie de l'Empire autrichien. Apres des etudes de philosophie, mathematique et theologie, il est devenu pretre et professeur de Science de la religion a l'Universite de Prague. Heritier de l'Aufklarung, il a consacre sa vie a la reforme de la semi-feodale societe autrichienne et a la reforme des sciences a priori: logique, mathematique et theologie. Ses critiques de la constitution et de l'ordre existant lui valurent d'etre destitue (...) de sa chaire en 1819 et de passer le reste de sa vie en exil interieur entoure d'un petit cercle d'amis, ecrivant ses grands traites: le Traite de science de la religion (1834), la Theorie de la science (1837), la Theorie des grandeurs ainsi que l'utopie Du meilleur Etat et les Paradoxes de l'infini (1851). Le texte De la methode mathematique, extrait de l'Introduction a la Theorie des grandeurs, resume quelques unes de ses plus importantes innovations en logique et presente sa philosophie des mathematiques, concue en opposition a Kant. Bolzano l'a choisi pour l'envoyer a Franz Exner, nomme professeur de philosophie a l'Universite de Prague en 1831. L'echange epistolaire qui s'en est suivi tourne autour des deux theses controversees de la logique de Bolzano: sa conception des objets logiques en soi, independants de la pensee et de la langue, et son concept d'intuition. Dans cette controverse s'est joue le sort de la philosophie autrichienne. Bolzano n'a pas reussi a convaincre Exner, qui lui oppose avec tenacite les idees de Herbart. (shrink)

Dans un nombre croissant de domaines scientifiques - sciences de la nature, sciences humaines aussi bien que sciences des artefacts -, la simulation ne joue plus le rôle de succédané temporaire d'une théorie encore en gésine parce que non encore élaborée ; c'est-à-dire qu'elle ne joue plus systématiquement le rôle d'un modèle provisoire ou d'un schéma servant à condenser les mesures. C'est qu'elle n'a pas la nature d'un signe graphique, linguistique ou mathématique. Elle joue au contraire de plus en (...) plus le rôle d'une réplication détaillée du réel : elle est une intuition reconstruite avec justesse mais sans abstraction rationnelle et généralisante, donc sans transfiguration iconique. Une des limites de l'épistémologie dialectique de Bachelard tient à ce qu'elle ne donne pas les concepts pour penser assez distinctement ces pratiques contemporaines de simulation. C'est pourquoi l'A. propose de concevoir l'idée que la science contemporaine se développe non plus selon la seule dialectique matérialisme / rationalisme, mais selon la triade rationalisme/computationalisme/matérialisme. (shrink)

Des branches entières des mathématiques sont fondées sur des liens posés entre les nombres et l’espace : mesure de longueurs, définition de repères et de coordonnées, projection des nombres complexes sur le plan… Si les nombres complexes, comme l’utilisation de repères, sont apparus relativement récemment (vers le XVIIe siècle), la mesure des longueurs est en revanche un procédé très ancien, qui remonte au moins au 3e ou 4e millénaire av. J-C. Loin d’être fortuits, ces liens entre les nombres et l’espace (...) reflèteraient une intuition fondamentale, universelle, façonnée au cours des millénaires par la sélection naturelle, et qui aurait servi de guide et d’inspiration aux mathématiciens au fil des siècles. (shrink)

This book is a welcome contribution to the literature on Kant's philosophy of mathematics in two particular respects. First, the author systematically traces the development of Kant's thought on mathematics from the very early pre-Critical writings through to the Critical philosophy. Secondly, it puts forward a challenge to contemporary Anglo-Saxon commentators on Kant's philosophy of mathematics which merits consideration.A central theme of the book is that an adequate understanding of Kant's pronouncements on mathematics must begin with the recognition that mathematics (...) in Kant's time was poised at the beginning of what Pierobon calls the ‘algebraic revolution’ of the nineteenth century. For Kant, Euclidean geometry, with its heavy reliance on the geometric image, was the paradigm of certainty. The algebraic revolution of the nineteenth century replaced that paradigm with an algebraic formalism, thereby freeing mathematics from any connection to the geometric image, and also severing the link to intuition. Pierobon describes this as the ‘divergence between the image and writing [l'écriture]’. So great was the shift, Pierobon suggests, that, after the developments of the nineteenth century, it became difficult to find any sense in Kant's conception of mathematics as sensible knowledge. This, certainly, was the view of Russell, who notoriously claimed in Mysticism and Logic that modern developments in logic dealt a ‘fatal blow to the Kantian philosophy’ and that ‘the whole doctrine of a priori intuitions, by which Kant explained the possibility of pure mathematics, is wholly inapplicable to mathematics in its present form’.1 Pierobon claims, though, that much of Anglo-Saxon commentary on Kant's philosophy of mathematics begins from this ‘rationalist and logicist’ position, reading Kant's philosophy of mathematics from a post-algebraic-revolution perspective. This book attempts to offer a corrective to that position by offering a Kantian conception of mathematics …. (shrink)

The classification of algebraic surfaces by the Italian School of algebraic geometry is universally recognized as a breakthrough in 20th century mathematics. The methods by which it was achieved do not, however, meet the modern standard of rigor and therefore appear dubious from a contemporary viewpoint. In this article, we offer a glimpse into the mathematical practice of the three leading exponents of the Italian School of algebraic geometry: Castelnuovo, Enriques, and Severi. We then bring into focus their distinctive conception (...) of rigor and intuition. Unlike what is often assumed today, from their perspective, rigor is neither opposed to intuition nor understood as a unitary phenomenon –Enriques distinguishes between _ small-scale rigor _ and _ large-scale rigor _ and Severi between _ formal rigor _ and _ substantial rigor _. Finally, we turn to the notion of mathematical objectivity. We draw from our case study in order to advance a multi-dimensional analysis of objectivity. Specifically, we s... (shrink)

In Intuition et idéalités: Phénoménologie des objets mathématiques (2020), Dominique Pradelle questioned the nature of mathematical knowledge–the status of math.

Simple hypothèse au début du XIXe siècle, l'évolution devient réalité cinquante ans plus tard. Peu à peu se met en place le cadre conceptuel d'une nouvelle science historique : la biologie évolutive. Il y a une histoire de la vie sur Terre! Tandis que la cosmologie décrypte l'histoire de l'Univers, la biologie, elle aussi, concurrence le mythe. On comprend, dès lors, pourquoi elle fascine, ou fait peur, d'autant qu'elle donne aux questions simples que les hommes se posent des réponses qui (...) vont à l'encontre des intuitions du sens commun. Pas à pas, le livre suit les hypothèses, les orientations divergentes, les tâtonnements qui ont conduit à la mise en place du modèle qui établit les fondements de la biologie évolutive moderne. Décrire l'histoire de la vie sur Terre ne suffit pas : il faut en expliquer les mécanismes intimes. Or, l'organisme vivant, dans son environnement, est, de prime abord, considéré comme une " machine vivante ", créée par un concepteur :créationnisme simple ou déguisé sous l'apparence du " dessein intelligent ", finalité brute ou déguisée sous l'apparence de la téléonomie. Progressivement, la biologie évolutive se dégage des options finalistes pour décoder, grâce à la génétique, le mystère du génotype, et les relations complexes qu'il entretient avec le phénotype et l'environnement. Les méandres de ces recherches délicates et ô combien! difficiles passent, à un moment décisif, par des interactions fortes avec la physique quantique et les mathématiques, pour culminer avec la découverte de " l'atome d'hydrogène " de la biologie, l'opéron lactose, modèle de la régulation de l'expression du gène chez la bactérie. Pourtant, alors que l'essentiel semble acquis, les conséquences de ce décryptage ne sont toujours pas universellement comprises ni admises, tant la conception classique de la causalité linéaire se trouve bouleversée par les interactions à l'infini des boucles autoréférentes qui rythment la structure et l'évolution du vivant. (shrink)

RésuméVivre, agir, c'est participer à des répétitions qui laissent en nous une marque et finissent par nous faire acquérir une pratique. La réflexion vient ensuite, utilise ces marques, en forme des images qu'elle peut évoquer à volonté, et qu'elle structure en représentations: langage intérieur, puis langage de communication. Une « intuition » est l'affleurement conscient d'une marque laissée par la pratique, et son insertion quasi‐instantanée dans le système des représentations internes. Les progrès alternés dans la pratique, dans l'association des (...) images, dans le langage, dans l'action se suscitent les uns les autres, au cours d'une évolution conditionnée par nos structures physiologiques .La pratique sur laquelle s'exerce ainsi la réflexion peut ětre la pratique měme de la réflexion. A chaque pratique particulière s'associe une technique: à l'origine empirique, puis, par réflexions successives, rationnelle, mathématique, formelle .Mais toute mathématique suppose un mathématicien, tout langage formalisé un méta‐langage, et la connaissance ne se laisse jamais enfermer dans une technique ultime: on retrouve les trois horizons de l'idonéisme. Le développement intellectuel qui va d'un niveau au niveau supérieur est à rapprocher du développement de l'embryon; l'ontogenèse répète la Phylogenèse; on ne peut atteindre un niveau de connaissances qu'en passant par les niveaux intermédiaires atteints successivement par nos prédécesseurs; il n'existe pas de raccourci, et la connaissance future ne peut ětre prévue par les moyens de la connaissance actuelle.SummaryTo live and to act is to share in repetitions which impress marks upon us and eventually makes us acquire a practice. Reflection comes later on, using those marks, shaping them into images that it can conjure up at will, and structuring them into representations: first inner language, then communication language. An « intuition » is the conscious outcrop of a mark left by practice and its quasi‐instantaneous insertion into the system of inner representations. Alternating progress in practice, in image‐ association, in language and in action give rise to one another in the course of an evolution conditionned by our physiological structure .The practice on which reflection exerts itself can be the very practice of reflection. To each particular practice is associated a technique, originally empirical, then, through a succession of reflections, rational, mathematical, formal .But every mathematics supposes a mathematician, every formalized language a metalanguage, and knowledge can never be shut into an ultimate technique: one is once more confronted with the three horizons of idoneism. Intellectual development, going from a certain level to an upper level, is to be compared with the development of an embryo; ontogenesis repeats phylogenesis; one can only reach a certain level of knowledge by going through intermediate levels successively reached to by our predecessors; there is no short cut, and future knowledge cannot be foreseen through the ways of present knowledge. (shrink)

L'épistémologie s'intéresse à la connaissance scientifique aux points de vue logique et méthodologique. Soit elle cherche les fondements du savoir qui précèdent la science elle-même, soit elle pose ses problèmes à l'intérieur de la science. Or, depuis que la science mathématique de la nature tend à une forme de mathématique pure, cette distinction classique n'est plus vraiment pertinente. Au-delà des questions épistémologiques habituelles, cet ouvrage propose une lecture critique de la science moderne, où la notion de "fondement" est (...) élargie aux "premiers gestes". Lorsque Galilée a formulé la loi de la chute des corps sous une forme mathématique, il a considéré que les corps du monde physique réel se déplacent dans un espace vide, qui est un milieu idéal. Il a ainsi violé l'interdit posé par Aristote sur le mouvement dans le vide, et depuis lors la question du rapport de la pensée à l'intuition a été soulevée dans le cadre d'une interrogation inédite sur la Nature. La science de la nature a poursuivi son chemin vers sa mathématisation à outrance, et les grandes étapes de ce chemin que sont les théories de la relativité et de la mécanique quantique ont fini par faire resurgir les fantômes de l'intuition qui sont comme des piqûres de rappel du sens de ce qui a été ouvert pour commencer. Il fallait donc poser la question qui fut celle de Husserl : avant de tomber dans le vide, les corps ne sont-ils pas tombés énigmatiquement du vide pour susciter les premiers gestes du savoir? La loi de Galilée ainsi questionnée devient l'emblème d'une interrogation philosophique inédite. Le vide d'où surgissent les phénomènes naturels renvoie en amont de la nature, vers le monde de la vie sur lequel la science n'a pas de prise bien qu'elle en émane. Qu'est-ce qui s'effectue dans ce monde? En essayant d'approfondir cette question, la phénoménologie retrouve dans la science cette dimension intuitive de l'expérience que la science met en question. Dans une métaphysique de la nature tirée de la philosophie transcendantale, Kant l'avait déjà esquissée sous la forme d'une équivoque de l'intuition. Equivoque aussi riche de sens que porteuse d'une énigme à l'horizon de ces premiers gestes du savoir qu'aucun savoir constitué ne peut épuiser. (shrink)

On désigne ici comme « espace esthétique » la forme subjective et pure de l’intuition du sens externe, telle que la met à jour l’exposition métaphysique de l’espace. Kant l’appelle ainsi « espace métaphysique » en l’opposant rigoureusement à l’« espace géométrique », déjà conceptualisé et ne relevant plus comme tel de l’Esthétique transcendantale dans son moment originaire. L’espace esthétique doit pouvoir être atteint dans son essence pure avant et indépendamment de ce que la « mathématique de l’étendue (...) » constitue du second : il faut délier le moment propre de l’Esthétique de toute subordination à la géométrie. À l’inverse, on esquissera la genèse transcendantale des différents types d’objectivité géométrique désignés dans des « concepts d’espace » (le quantum, la figure, l’espace lui-même considéré objectivement). (shrink)

Georges Kalinowski, dans « Raison, entendement et philosophie » [Kalinowski 1974, 125-127], isolait quatre fonctions d’une même faculté : l’intellect comme fonction de la connaissance intuitive, la raison (des anciens) comme fonction de la connaissance médiate, l’entendement fonction d’élaboration des sciences (au sens moderne) et la raison (des modernes) fonction d’élaboration de la philosophie ou au moins d’une partie de la philosophie. Kalinowski reconnaissait ainsi à la pensée ancienne et à la pensée moderne des contributions originales différentes. Le présent essai (...) veut être un hommage à Georges Kalinowski, dans l’esprit de ces précisions : il donne lieu aujourd’hui, avec une brève introduction sur les rapports entre la logique de Boole et de Frege et les fondements de l’informatique, à une méditation que l’on prévoit beaucoup plus vaste sur les rapports entre logique aristotélico-thomiste, logique symbolique, mathématique, théorie des ensembles et informatique. (shrink)

Parler de l'homme connaissant, c'est poser des questions, notamment : une perspective scientifique unifiée sur l'esprit ("cognitivisme") est-elle légitime? En quoi l'intuition et la construction de concepts peuvent-elles rendre compte des mathématiques, mais aussi, analogiquement, de l'art et de la langue? Quel rapport y a-t-il entre la connaissance et les normativités morale et juridique? Les présents essais – "L'esprit pensé", "Ce que nous devons à Augustin", "L'intuition et après", "La morale et la fable" – abordent ces questions fondatrices (...) à partir d'un point de vue critique sur les différents régimes de nos connaissances. (shrink)

Dans son « Découverte d'un nouveau principe de mécanique » (1750) Euler a donné, pour la première fois, une preuve du théorème qu'on appelle aujourd'hui le Théorème d'Euler. Dans cet article je vais me concentrer sur la preuve originale d'Euler, et je vais montrer comment la pratique mathématique d Euler peut éclairer le débat philosophique sur la notion de preuves explicatives en mathématiques. En particulier, je montrerai comment l'un des modèles d'explication mathématique les plus connus, celui proposé par (...) Mark Steiner dans son article « Mathematical explanation » (1978), n'est pas en mesure de rendre compte du caractère explicatif de la preuve donnée par Euler. Cela contredit l'intuition originale du mathématicien Euler, qui attribuait à sa preuve un caractère explicatif spécifique. (shrink)

ZusammenfassungDie Arbeit enthält Bemerkungen über den Intuitionismus and über seine Beziehungen zu anderen Gebieten der Grundlagenforschung. Innerhalb der intuitionistischen Mathematik werden, im Anschluss an die Kritik von Griss gegen den Gebrauch der Negation, Evidenzstufen unterschieden, abhängend von der Art, in der bedingte Konstruktionen zugelassen werden. Auch werden gewisse Schwierigkeiten in der Theorie der endlichen Spezies diskutiert. Was die Grundlagenforschung im Aligemeinen betrifft, wird bemerkt, dass sie die klassische Mathematik weitgehend in ihre intuitiven, formalen and platonischen Bestandteile zerlegt hat. Es wird (...) näher eingegangen auf die These von Church in der Theorie der rekursiven Funktionen.RésuméL'article contient des remarques sur l'intuitionisme et sur ses rapports avec les autres directions dans la recherche des fondements. Dans la mathématique intuitioniste, et en connexion avec la critique de Griss contre l'usage de la négation, on distingue des degrés d'évidence, dépendant de l'espèce de constructions conditionnées qui est admise. En outre, on discute certaines difficultés dans la théorie des espèces finies. Concernant la recherche des fondements en général, on remarque que les mathématiques classiques ont été scindées en leurs éléments intuitifs, formels et platonistes. Quelques remarques sur la thèse de Church dans la théorie des fonctions récursives terminent l'article.The paper contains remarks on intuitionism and its relations with other domains of foundational research. Inside the intuitionistic mathematics, in connection with Griss' criticism against the use of negation, different degrees of evidence are distinguished, depending upon the way in which conditioned constructions are admitted. Some difficulties in the theory of finite species are discussed. Concerning the foundational research in general it is observed that it has separated intuitive, formal and platonistic constituents in classical mathematics. Some remarks are made on Church's thesis in the theory of recursive functions. (shrink)

Nous examinons les conditions de vérité pour des attributions de savoir dans le cas des connaissances mathématiques. La disposition d’une démonstration formalisable semble être un critère naturel :(*) X sait que p est vrai si et seulement si X en principe dispose d’une démonstration formalisable pour p.La formalisabilité pourtant ne joue pas un grand rôle dans la pratique mathématique effective. Nous présentons des résultats d’une recherche empirique qui indiquent que les mathématiciens n’employent pas certaines spécifications de (*) quand ils (...) attribuent du savoir. De plus, nous montrons que le concept de savoir mathématique qui est à la base de l’emploi effectif du mot « savoir » de la pratique mathématique est tout à fait compatible avec certaines intuitions philosophiques mais apparaît comme différent des concepts philosophiques formant la base de (*). (shrink)

Le démiurge de Platon et l'atome primitif de Lemaître sont deux intuitions inédites, artifices théoriques d'astronomie anti-observationnelle. La genèse de ces artifices remonte à la thématisation présocratique de l'unité cosmique. Platon institutionnalise les Formes intelligibles et platonise les présocratiques. Lemaître, contemporain d'Einstein, est tributaire d'une unité cosmique marquée par la gravitation relativiste, qui disqualifie le système classique ayant, en son temps, déclassé les substances et le mouvement aristotéliciens. La théorisation montre comment Platon fait du démiurge le concept axial de son (...) astronomie géométrique. L'univers est conforme aux normes mathématiques. La perspective dynamique de Lemaître émerge contre le modèle stationnaire d'Einstein/De Sitter, aristotélicien en son fond. Au bout, deux configurations apparaissent : sphérique et homogène, l'univers de Platon repose sur le triangle. L'« âme du monde » en assure la dynamique. D'interprétation quantique, la singularité cosmique de Lemaître développe le modèle d'un univers issu de l'explosion (big bang) d'un atome primitif : l'isotope du neutron. (shrink)

Goethe n'est pas seulement poete, dramaturge, romancier, artiste. Il est aussi philosophe et surtout philosophe de la nature. Il manifeste un interet constant pour des questions scientifiques variees (physique, theorie des couleurs, chimie, meteorologie, geologie, mineralogie, morphologie, botanique, zoologie) et influencera profondement la philosophie allemande de la nature des annees 1780-1830. Goethe est une reference incontournable pour la Naturphilosophie tant idealiste (Kant, Schelling, Hegel) que romantique (Holderlin, Novalis, Schlegel). Il est, selon l'historien de la philosophie Johann Hoffmeister, parmi la nebuleuse (...) heterogene des philosophes de la nature, comme " le Soleil au milieu des planetes ". Goethe meme considere ses ecrits scientifiques comme un volet majeur de son oeuvre, et dialogue avec d'eminents savants de son temps (Cuvier, Geoffroy Saint Hilaire, les freres Humboldt). Sa Naturphilosophie articule une theorie de la connaissance a une redefinition de l'experience privilegiant le recours a l'intuition visuelle, ainsi que la recherche de " phenomenes originaires " (Urphanomene) et des metamorphoses auxquelles ils donnent lieu. Hegel louera dans la Naturphilosophie de Goethe " l'intuition pleine de sens [...] qui ordonne ce qui n'est que phenomene d'une maniere conforme a la suite interieure du concept ". Le present ouvrage eclaire ce Goethe Naturphilosoph fondateur d'une episteme intuitionniste, phenomeniste, voire phenomenologique, aux antipodes de la science physico-mathematique, quantitative et intellectuelle, de Descartes ou Newton et inaugurant un style original de comprehension des phenomenes naturels qui se joue des frontieres a la fois entre les disciplines scientifiques et entre la philosophie et son autre (science, litterature). (shrink)

Si la tradition analytique cautionne en general la preference moderne pour une rationalite de type mathematique, et demeure mefiante vis-a-vis de la causalite formelle et de l'intuition eidetique, la tradition phenomenologique, en revanche, privilegie l'intuition intellectuelle plutot que les procedures techniques, et propose de rehabiliter nombre des categories meprisees par les penseurs modernes. La these developpee dans cette etude soutient que la phenomenologie offre une explication a la fois plus equilibree et plus coherente de l'objectivite de la connaissance. (...) La vulnerabilite de la philosophie analytique face aux versions contemporaines de l'historicisme et du relativisme est l'aboutissement logique des premisses empiristes communes a la critique fregeenne du psychologisme et a la critique wittgensteinienne de la representation. Le point de vue phenomenologique a pour clef la theorie husserlienne de l'intuition categoriale qui retrouve et renouvelle l'explication aristotelicienne de l'origine des predicats classificatoires a partir des aspects des choses. (shrink)

La cognition humaine paraît étroitement liée à la structure de l'espace et du temps relativement auxquels le corps, le geste, l'intelligibilité semblent devoir se déterminer. Pourtant, ce qui, après les approches physico-mathématiques de Galilée et de Newton, fut caractérisé par Kant comme formes de l'intuition sensible, n'a cessé au cours des siècles qui suivirent de se trouver remis en cause dans leur saisie première par les développements théoriques. En mathématiques d'abord, avec les géométries non-euclidiennes, en physique ensuite, où relativité (...) générale puis théories quantiques et critiques ont dû remanier profondément l'objectivité de ces concepts pour en faire des catégories, certes toujours aussi essentielles, mais de plus en plus contre-intuitives, et maintenant en biologie où la temporalité, notamment, et la causalité se révèlent largement différentes de celles de la physique. C'est ce que nous tentons de présenter et de discuter dans ce texte en vue d'en dégager la pertinence pour la cognition elle-même. (shrink)