The classification of algebraic surfaces by the Italian School of algebraic geometry is universally recognized as a breakthrough in 20th century mathematics. The methods by which it was achieved do not, however, meet the modern standard of rigor and therefore appear dubious from a contemporary viewpoint. In this article, we offer a glimpse into the mathematical practice of the three leading exponents of the Italian School of algebraic geometry: Castelnuovo, Enriques, and Severi. We then bring into focus their distinctive conception (...) of rigor and intuition. Unlike what is often assumed today, from their perspective, rigor is neither opposed to intuition nor understood as a unitary phenomenon –Enriques distinguishes between _ small-scale rigor _ and _ large-scale rigor _ and Severi between _ formal rigor _ and _ substantial rigor _. Finally, we turn to the notion of mathematical objectivity. We draw from our case study in order to advance a multi-dimensional analysis of objectivity. Specifically, we s... (shrink)

La présente étude questionne l’objectivité des mathématiques à travers l’analyse de la pratique mathématique, dans une modalité didactique. À travers des dialogues en classe (dans l’esprit de Lakatos), nous examinons la thèse, inspirée des travaux de Granger, que le développement de mathématiques formelles selon la méthode abstraite structuraliste ne se réduit pas à un langage mais engage un « contenu formel » qui se déploie dans une intuition symbolique. La didactique ou épistémologie expérimentale contribue ainsi à la (...) philosophie par un commentaire d’expériences et l’interprétation de significations, dans des regards croisés. (shrink)

Dans cet article, je considère la pratique et la conception de la ri­gueur chez Richard Dedekind qui se dégagent de l’étude d’une sélection de ses travaux les plus importants. Une analyse des mentions multiples de réquisits de rigueur dans les textes de Dedekind amène à constater qu’il lie très étroi­tement la rigueur à la généralité. La première partie de l’article donne à voir les liens serrés tissés par Dedekind entre généralité et rigueur, dans sa théorie des fonctions algébriques co-écrite (...) avec H. Weber, ainsi que dans ses travaux fondationnels et dans ses travaux de théorie des nombres. Dans la seconde partie, j’examine les critères de rigueur qui apparaissent dans la pratique ma­thématique de Dedekind. Je discute l’idéal logique de rigueur dans l’essai de Dedekind sur les entiers naturels, étudié par M. Detlefsen sous l’appellation « Dedekind’s principle » ; puis je m’intéresse à la stratégie de Dedekind pour arithmétiser les mathématiques afin de mettre en évidence qu’il ne s’agit pas d’une approche guidée par un principe purement logique. Ainsi, l’idéal logique de rigueur apparaît comme intimement lié à la pratique d’une autre norme épistémique : la généralité, en lien avec la quête, par Dedekind, de définitions et preuves générales. Dans la dernière partie, j’analyse la demande de généra­lité et la pluralité de conceptions de la généralité que recouvre cette demande, et termine en mettant en avant la relation des définitions aux preuves et de quelle manière une définition générale se pose en condition de rigueur dans les mathématiques dedekindiennes. (shrink)

La conception qu'Emmanuel Kant se faisait des mathematiques etait en parfaite consonance avec l'opinion philosophique la plus courante au XVIIIe siecle a l'egard de cette science. Il conviendrait par consequent de tenir davantage compte de l'histoire des idees scientifiques, ce qui permettrait de faire remarquer que la pensee kantienne releve d'un paradigme scientifique plus ancien, celui de la geometrie euclidienne (ou l'image reste intimement articulee au signe), alors que les critiques ordinairement adressees au Kant mathematicien s'appuient indirectement sur l'heritage de (...) la revolution algebrique par lequel le signe est desormais dissocie de l'image. Il convenait donc d'examiner dans le plus grand detail la maniere dont, a travers son oeuvre, Kant recevait et discutait les conceptions mathematiques de son temps, et en particulier la tension marquee entre la geometrie et l'arithmetique. Ce faisant, il redevient possible de recontextualiser le concept kantien d'intuition par rapport aux evidences de son temps, qui ne sont plus tout a fait les notres. Les reticences de Kant vis-a-vis des concepts les plus problematiques de l'algebre se laissent ainsi interpreter a nouveaux frais, faisant ressortir la signification de l'architectonique. (shrink)

Leibniz introduit l’expression « ⁰⁄₀ » en 1672 dans un écrit mathématique sur les séries numériques pour exprimer la somme des unités. Il s’agit très probablement d’une des premières apparitions de cette expression dans l’histoire des mathématiques. Leibniz cependant l’abandonne aussitôt. Elle apparaît à nouveau dans le contexte du calcul différentiel au moment où celui-ci fait débat à l’Académie royale des sciences. Une des questions les plus saillantes soulevées par l’introduction du nouveau calcul est de savoir si la notion (...) de différentielle doit être distinguée, dans la pratique, du zéro absolu. Cet article examine les efforts effectués, dans le cadre d’une nouvelle pratique mathématique, pour donner un sens à l’expression « ⁰⁄₀ ». On verra comment cette expression cesse de représenter une impossibilité algébrique, à condition de ne plus penser « 0 » comme un zéro absolu. Désormais, elle est le signe de l’existence d’une singularité d’une courbe. L’analyse de cette construction de sens met en évidence combien la représentation diagrammatique des caractères impliqués dans le calcul était importante pour les premiers pratiquants du calcul différentiel. (shrink)

Les algèbres de dimensions supérieures libèrent les mathématiques de la restriction d'une notation purement linéaire. Elles aident ainsi à la modélisation de la géométrie et procurent une meilleure compréhension et plus de possibilités pour les calculs. Elles nous donnent de nouveaux outils pour l'étude de problèmes non-commutatifs, de dimension supérieure qui assurent le passage du local au global, en utilisant la notion d' «inverse algébrique de subdivision». Nous allons exposer comment ces idées sont venues aux auteurs en prolongeant initialement (...) la notion classique de groupe abstrait à celle de groupoïde abstrait, dont la composition n'est que partiellement définie, et qui ajoute une composante spatiale à la théorie habituelle des groupes. La théorie des noeuds nous fournit un exemple en indiquant comment une telle algèbre peut être utilisée pour décrire la structure d'un espace. Le prolongement à la dimension 2 utilise des compositions de carrés dans deux directions et la richesse de l'algèbre qui en résulte est montrée par certains calculs de dimension 2. La difficulté de la transition de la dimension 1 à la dimension 2 est également illustrée par la comparaison de la notion de carré commutatif à celle de cube commutatif - le traitement de cette dernière nécessitant de nouvelles notions. L'importance de la théorie des catégories est expliquée, de même que les possibilités de l'application d'algèbres de dimensions supérieures. (shrink)

Grassmann n’est pas le premier à créer un nouveau calcul :Möbius, Hamilton, Bellavitis, Cauchy, et bien d’autres l’ont précédé dans cette voie qui témoigne de toute l’importance des mutations subies par l’algèbre et de l’évolution des rapports complexes entretenus entre ce domaine et son « exacte contrepartie » la Géométrie euclidienne : à l’heure où s’élaborent les premières « structures » et les « morphismes », la géométrie euclidienne perd son statut de « critère de vérité » et (...) d’« existence » des entités algébriques, notamment dénoncé par un prétendu « retour à la rigueur ».L’introduction « philosophique », décriée par ses contemporains ne voyant là que « fausse philosophie », ne pouvait être impunément écartée : la « seconde » Ausdehnungslehre de 1862 (A2) — pourtant proposée telle une nouvelle version rédigée conformément au style « souhaité » par son époque — ne conviendra pas plus à ses trop rares lecteurs. Tout lecteur averti reconnaît que A2ne peut être parfaitement entendu sans les nécessaires éclaircissements de A1.Trois points nous paraissent aujourd’hui significatifs :– L’Ausdehnungslehre est une science formelle qui trouve sa place dans le système mathématique de Grassmann. Ce système « améliore » celui déjà classique (notamment connu du père de Grassmann) qui résulte du croisement entre les deux contrastes fluants « continu/discret » et « distinct/égal ».– L’Ausdehnungslehre admet la géométrie comme première « application » remarquable. La géométrie [Geometrie] (ou encore la théorie de l’espace [Raumlehre]) est devenue une science réelle (l’espace préexiste), elle ne peut donc légitimement figurer au sein de la mathématique pure.– Une partie précède la séparation en les quatre branches précédentes de la mathématique pure (ou théorie des formes). La théorie générale des formes présente leurs lois communes, soit cette série de vérités qui, de la même manière se rapportent à toutes les branches des mathématiques et qui ne supposent donc que les concepts généraux d égalité, de diversité, de liaison et de séparation. (shrink)

Beth has tried to vindicate the kantian doctrine of mathematical intuition in the frame of contemporary logic. The paper proposes a critical evaluation of this attempt. The theory of mathematical intuition that is exposed in the Critic of Pure Reason is twofold: on one hand, the intuition of the "first principles", as it is analyzed in the Aesthetics, on the other hand, the intuition which is involved in the proofs, as it is analyzed in the Methodology. (...) Contrasting with most defenders of Kant, who try to show that the first kind of intuition remains, in some way, compatible with the non-euclidean geometries, Beth wants to defend the second kind of intuition, by suggesting that it is nothing else than the "instanciation" method, well-known in the predicate calculus. I show that this strategy of defending Kant is unsuccessful. (shrink)

We argue that the diagram is the equivalent of the Kantian schema, i.e. the translation into time and space of a meaning, and therefore of a concept, which would otherwise be empty. Understood as a schematic structure materialized in a support, the diagram is the explicitation of the meaning of the concept understood as a guide to action. We show why the class of judgements made by diagrammatic intuition is equivalent to that of the "steps" - the expression is (...) Peirce's – used to produce a theorem. Such an analysis allows us to argue in favour of the thesis that the schematism at work in the organic production of form is fundamentally diagrammatic in nature, which is why we speak of a diagrammatic schematism of morphogenesis. (shrink)

La géométrie souterraine est une science mathématique pratique, qui se développe dans les exploitations minières et dont la diffusion est considérablement modifiée au cours du xviiie siècle. Ce phénomène est lié à l’institutionnalisation graduelle de la discipline, de l’établissement d’un système de compagnonnage à la création d’académies des mines. Progressivement, les pratiques vont faire appel à de nouvelles méthodes et intégrer une solide formation en mathématiques théoriques. La circulation et l’enseignement des connaissances sont dans un premier temps (...) basés sur un système de manuscrits qui sera étudié en détail. L’exemple du Markscheider August Beyer (1677-1753) illustre ce processus collectif de constitution et de transmission de connaissances, dont la diffusion est cependant contrôlée. Nous analysons dans un second temps l’évolution des vecteurs de circulation et son influence sur la discipline, en nous appuyant sur la biographie de deux mathématiciens saxons, J.A. Scheidhauer (1718-1784) et son discipline J.F. Lempe (1757-1801). Leurs parcours croisés symbolisent la transformation de la discipline. Le passage à l’imprimé, la publication d’articles dans des revues spécialisées et la création de chaires académiques font de la géométrie souterraine une science reconnue qui reste cependant en dehors du corpus de connaissances et des débats universitaires. (shrink)

L’article met en lumière la continuité intellectuelle de l’Académie à propos d’une question précise, les rapports entre philosophie et géométrie. On soutient d’abord que, dans les livres VI-VII de la République, Platon ne cherche pas à réformer les pratiques des géomètres mais identifie les contraintes incontournables de leurs raisonnements (constructions, hypothèses), qui constituent et limitent leur objectivité. On montre ensuite que cette analyse constitue le cadre des réflexions académiciennes ultérieures sur la géométrie. Speusippe reprend et développe l’analyse platonicienne (...) des constructions géométriques, qui est appliquée (de Speusippe à Crantor) à la cosmologie et même à la doctrine des principes, afin d’expliquer comment elles saisissent leurs objets éternels depuis le devenir, de manière indirecte. Si la Nouvelle Académie d’Arcésilas et de Carnéade critique les mathématiques, on fait l’hypothèse qu’il s’agissait pour elle – dans le contexte des débats philosophiques hellénistiques sur les usages des mathématiques –, de rappeler les limites de leur objectivité contre toute idéalisation dogmatique de la méthode géométrique. (shrink)

Henri Poincaré était réputé être un mathématicien hostile à la rigueur, aussi bien dans sa pratique mathématique que dans ses réflexions philosophiques. Or, des éléments indiquent que Poincaré se basait implicitement sur une conception personnelle de la rigueur mathématique, et qui correspondrait à sa pratique des mathématiques. Nous proposons donc de caractériser ce que serait cette conception. Tout d’abord, nous observons donc son rap­port à la rigueur dans ses travaux en topologie, à partir d’exemples tirés du (...) mémoire Analysis Situs de 1895 [Poincaré 1895]. Ensuite, nous étudions pour quelles raisons Poincaré revendique son opposition à certaines normes de ri­gueur. Enfin, nous développons une conception « poincaréenne » de la rigueur mathématique. (shrink)

La cognition humaine paraît étroitement liée à la structure de l'espace et du temps relativement auxquels le corps, le geste, l'intelligibilité semblent devoir se déterminer. Pourtant, ce qui, après les approches physico-mathématiques de Galilée et de Newton, fut caractérisé par Kant comme formes de l'intuition sensible, n'a cessé au cours des siècles qui suivirent de se trouver remis en cause dans leur saisie première par les développements théoriques. En mathématiques d'abord, avec les géométries non-euclidiennes, en physique ensuite, où relativité (...) générale puis théories quantiques et critiques ont dû remanier profondément l'objectivité de ces concepts pour en faire des catégories, certes toujours aussi essentielles, mais de plus en plus contre-intuitives, et maintenant en biologie où la temporalité, notamment, et la causalité se révèlent largement différentes de celles de la physique. C'est ce que nous tentons de présenter et de discuter dans ce texte en vue d'en dégager la pertinence pour la cognition elle-même. (shrink)

On désigne ici comme « espace esthétique » la forme subjective et pure de l’intuition du sens externe, telle que la met à jour l’exposition métaphysique de l’espace. Kant l’appelle ainsi « espace métaphysique » en l’opposant rigoureusement à l’« espace géométrique », déjà conceptualisé et ne relevant plus comme tel de l’Esthétique transcendantale dans son moment originaire. L’espace esthétique doit pouvoir être atteint dans son essence pure avant et indépendamment de ce que la « mathématique de l’étendue (...) » constitue du second : il faut délier le moment propre de l’Esthétique de toute subordination à la géométrie. À l’inverse, on esquissera la genèse transcendantale des différents types d’objectivité géométrique désignés dans des « concepts d’espace » (le quantum, la figure, l’espace lui-même considéré objectivement). (shrink)

En 1676, alors qu'il sejourne encore a Paris, Leibniz entreprend de composer un volumineux traite qui restera sans doute l'un de ses ecrits mathematiques les plus fortement charpentes: La quadrature arithmetique du cercle, de l'ellipse et de l'hyperbole et la trigonometrie sans tables qui en est le corollaire. Ce traite se presente comme un abrege exhaustif de la geometrie infinitesimale, dont Leibniz avait pu esperer qu'elle lui ouvrirait les portes de l'Academie des Sciences. Cependant, contraint de quitter la capitale avant (...) sa publication, il abandonnera derriere lui un ouvrage qui n'allait voir le jour qu'en 1993. Le probleme de la quadrature est pretexte a soulever plusieurs enjeux capitaux tant pour les mathematiques que pour la philosophie. Il permet notamment a Leibniz d'examiner avec une grande precision la question de la methode, des fondements, ainsi que des notions cruciales de rigueur et d'infini, tout en mettant en evidence leurs applications pratiques. Si la presente edition de ce texte foisonnant ne reproduit pas l'integralite des variantes, elle en propose une version corrigee et annotee, qui s'accompagne d'une traduction francaise en regard. (shrink)

Résumé — L’objet de cet article est de chercher à déterminer quel est le statut des possibles en mathématiques en montrant comment, à partir de l’analyse proposée par Kripke du mécanisme des illusions modales, il serait possible, conformément aux intuitions initiales de Putnam, de concilier réalisme et modalités. Si l’enjeu du réalisme mathématique est en effet de rendre compte de l’objectivité des mathématiques et non de l’existence de prétendus objets, nous pouvons concevoir une forme de réalisme qui ne sacrifierait (...) pas une réelle ouverture des possibles, pour peu que l’on apprécie dans toute sa complexité la double spécificité sémantique que constituent, en mathématiques, le recours aux descriptions imparfaites et la concurrence des langages.— Are there Kripkean metaphysical possibilities in mathematics ? Or should we stick to epistemic possibilities ? Generalizing the Kripkean account of the mechanism generating modal illusions, this paper investigates how we could make mathematical realism and modal knowledge compatible. Following Putnam’s insight according to which realism should deal with objectivity of mathematics rather than with mathematical objects, I’ll try to sketch a variety of modal knowledge rooted in a twofold semantic fact, peculiar to mathematics, viz. the use of imperfect descriptions and the stacking up of alternative language levels. (shrink)

RésuméVivre, agir, c'est participer à des répétitions qui laissent en nous une marque et finissent par nous faire acquérir une pratique. La réflexion vient ensuite, utilise ces marques, en forme des images qu'elle peut évoquer à volonté, et qu'elle structure en représentations: langage intérieur, puis langage de communication. Une « intuition » est l'affleurement conscient d'une marque laissée par la pratique, et son insertion quasi‐instantanée dans le système des représentations internes. Les progrès alternés dans la pratique, (...) dans l'association des images, dans le langage, dans l'action se suscitent les uns les autres, au cours d'une évolution conditionnée par nos structures physiologiques .La pratique sur laquelle s'exerce ainsi la réflexion peut ětre la pratique měme de la réflexion. A chaque pratique particulière s'associe une technique: à l'origine empirique, puis, par réflexions successives, rationnelle, mathématique, formelle .Mais toute mathématique suppose un mathématicien, tout langage formalisé un méta‐langage, et la connaissance ne se laisse jamais enfermer dans une technique ultime: on retrouve les trois horizons de l'idonéisme. Le développement intellectuel qui va d'un niveau au niveau supérieur est à rapprocher du développement de l'embryon; l'ontogenèse répète la Phylogenèse; on ne peut atteindre un niveau de connaissances qu'en passant par les niveaux intermédiaires atteints successivement par nos prédécesseurs; il n'existe pas de raccourci, et la connaissance future ne peut ětre prévue par les moyens de la connaissance actuelle.SummaryTo live and to act is to share in repetitions which impress marks upon us and eventually makes us acquire a practice. Reflection comes later on, using those marks, shaping them into images that it can conjure up at will, and structuring them into representations: first inner language, then communication language. An « intuition » is the conscious outcrop of a mark left by practice and its quasi‐instantaneous insertion into the system of inner representations. Alternating progress in practice, in image‐ association, in language and in action give rise to one another in the course of an evolution conditionned by our physiological structure .The practice on which reflection exerts itself can be the very practice of reflection. To each particular practice is associated a technique, originally empirical, then, through a succession of reflections, rational, mathematical, formal .But every mathematics supposes a mathematician, every formalized language a metalanguage, and knowledge can never be shut into an ultimate technique: one is once more confronted with the three horizons of idoneism. Intellectual development, going from a certain level to an upper level, is to be compared with the development of an embryo; ontogenesis repeats phylogenesis; one can only reach a certain level of knowledge by going through intermediate levels successively reached to by our predecessors; there is no short cut, and future knowledge cannot be foreseen through the ways of present knowledge. (shrink)

Dans sa thèse complémentaire intitulée « Essai sur l’unité des sciences mathématiques dans leur développement actuel » Albert Lautman analysa la question de l’unité des mathématiques en considérant différentes paires antithétiques de concepts mathématiques, notamment le continu et le discret. Dans le cadre de sa refonte de la géométrie algébrique abstraite, le mathématicien français Alexandre Grothendieck considéra également l’opposition traditionnelle du continu et du discret selon un cadre conceptuel fort similaire à celui de Lautman. En comparaison, l’introduction du concept (...) de topos lui permit de donner une réponse strictement mathématique et parfaitement claire à cette question.Albert Lautman’s complementary thesis, entitled “Essai sur l’unité des sciences mathématiques dans leur développement actuel”, analysed the unity of mathematics through various antithetical pairs of mathematical concepts such as the continuous and the discrete. As part of his renewal of abstract algebraic geometry, French mathematician Alexandre Grothendieck also considered the traditional opposition between the continuous and the discrete and adopted a conceptual framework very similar to that of Lautman. However, the topos concept allowed Grothendieck to come up with a purely mathematical and, in comparison, much clearer solution. (shrink)

L’article a pour but d’analyser la conception de la géométrie et de la mesure présentée dans Intuition et Raisonnement [Hölder 1900], « Les axiomes de la grandeur et la théorie de la mensuration » [Hölder 1901] et La Méthode mathématique [Hölder 1924]. L’article examine les relations entre a) la démarcation introduite par Hölder entre géométrie et arithmétique à partir de la notion de ‘concept donné’, b) sa position philosophique par rapport à l’apriorisme kantien et à l’empirisme (...) et c) le choix du postulat de la continuité de Dedekind parmi les axiomes de la théorie des grandeurs. L’article montre que les choix faits au niveau axiomatique sont reliés au cadre épistémologique et que l’originalité de Hölder consiste surtout dans son analyse au cas par cas des procédures déductives en mathématiques. (shrink)

La conception des mathématiques chez Poincaré est une pièce maîtresse de sa théorie de la connaissance. Les mathématiques y jouent un rôle constitutif et médiateur, très proche de celui que Kant leur avait assigné dans sa Critique. Afin d’éclaircir les rapports complexes entre les notions d’intuition, de construction et de convention chez Poincaré, nous nous appuyons sur les analogies et les contrastes avec la source kantienne. La continuité et la cohérence de la théorie de la connaissance de Poincaré en (...) sortent renforcées.Poincaré’s philosophy of mathematics plays a key role in his general philosophy of knowledge. Mathematics is considered, by Poincaré, as a constitutive element of experience and it plays a “schematic” role between the conventional frameworks of geometry and theoretical physics on one hand and, on the other hand, sensations. We stress the Kantian roots of such a conception of mathematics, trying to explain the respective importance of the notions of intuition, construction and convention in Poincaré’s theory of knowledge. (shrink)

RésuméDans l'article qui précède, l'auteur s'efforce, à l'intention surtout de ceux qui enseignent les Eléments, de mettre en lumière la signification et l'importance de deux ouvrages concernant la géométrie. Le court écrit de M. G. Bouligand fait apparaǐtre la structure algébrique et logique de cette science et présente une ȧxiomatique introduisant les notions d'ensemble et de groupe de transformation. Ainsi s'élabore une classification progressive des problèmes selon le genre des solutions qui leur conviennent. Le livre beaucoup plus étendu de (...) M. F. Gonseth analyse les aspects intuitif, expérimental et théorique de ce qui constituait l'élémentaire dans les traités classiques, puis expose les recherches suscitées par le postulat d'Euclide qui ont amené au développement de la méthode axiomatique. Le triomphe de l'atomisme, découvrant un monde où les notions élémentaires de la géométrie ne s'applíquent plus intégralement, vient rendre plus aigu encore le problème du fondement de la vérité géométrique et celui de la nature de l'espace. Grǎce à l'introduction de notions telles que celle de correspondance schématique et celle de modèle, la géométrie apparaǐt comme une science rationnelle en évolution et à laquelle l'axiomatique sert de critère. Mais bien loin de présenter les caractères d'une pure rationalité, cette axiomatique retient certaines données intuitives, měme dans son application aux géométries non euclidiennes; elle organise un contrǒle de nos intuitions les plus élémentaires les unes par les autres, et assure par leur intermédiaire la portée expérimentale et la cohérence de la géométrie. On assiste ainsi à une véritable mutation de l'élémentaire; mais celle‐ci n'est pas due au hasard. La méthode qui a présidé à cette transformation, dont les étapes historiques sont décrites, est clairement dégagée et il est visible qu'elle régit également les formes nouvelles de la physique dont la constitution théorique ne diffère pas essentiellement de la géométrie considérée comme la science rationnelle de l'espace. Cette méthode est le statut d'une science ouverte. Ainsi se trouve pleinement légitimé un exposé comme celui de M. Bouligand. En s'illustrant l'un l'autre, les deux ouvrages offrent des horizons nouveaux à l'enseignement, měme élémentaire, de la géométrie. La portée philosophique de ces ouvrages n'est pas moindre que leur portée pédagogique.ZusammenfassungIn der voranstehenden Besprechung möchte der Rezensent insbesondere diejenigen unter den Lesern, die die Elemente unterrichten, auf zwei bedeutende Geometriewerke hinweisen. G. Bouligands knapp gehaltene Schrift stellt den algebraisch‐logischen Aufbau dieser Wissenschaft ins Licht und bietet eine Axiomatik, die die Begriffe der Menge und der Transformations‐gruppe einführt. Ausgehend von der passenden Lösungsart gelangt der Verfasser zu einer fortschreitenden Klassifizierung der Aufgaben. In seinem viel breiter angelegten Werk untersucht F. Gonseth das in den klassischen Lehrbüchern als das Elementare angesehene vom intuitiven, experimentellen und theoretischen Gesichtspunkte aus und macht daran anschliessend mit den von Euklids Postulat ausgehenden Nachforschungen, die zur Entwicklung der axiomatischen Methode geführt haben, bekannt. Der eigentliche Siegeszug des Atomismus und die mit dieser Wissenschaft verbundene Entdeckung einer Welt, in der die grundsätzlichen Begriffe der Geometrie ihre volle Bestätigung nicht mehr erfahren, macht die Frage nach den Grundlagen der Geometrie und die nach dem Wesen des Raums besonders brennend. Die Einführung von Begriffen wie Schema und Modell lässt die Geometrie als eine in Entwicklung begriffene Rationalwissenschaft erscheinen, welcher die Axiomatik als Prüfstein dient. Letztere trägt aber durchaus nicht die Züge reiner Vernunftmässigkeit, sie hält vielmehr, selbst in ihrer Anwendung auf die nichteuklidischen Geometrien, an gewissen intuitiven Voraussetzungen fest; sie ermöglicht eine wechselseitige Kritik unserer elementarsten intuitiven Erkenntnisse unter sich und gewährleistet so die experimentelle Tragweite und die Kohärenz der Geometrie. Es findet also eine eigentliche Mutation des Elementaren statt, doch bleibt dieser Wandel nicht dem Zufall überlassen. Die Planmässigkeit, mit der er sich vollzog, wird unter Beschreibung der geschichtlichen Entwicklungsstufen klar dargelegt, womit erkennbar wird, dass er auch die neueren Formen der Physik bestimmt, die sich ja nach ihrem theoretischen Grundgesetz von der Geometrie als der rationalen Wissenschaft vom Raume nicht wesentlich unterscheidet. Eine solche Methode erfüllt das Lebensgesetz einer offenen Wissenschaft. Durch sie finden Ausführungen wie die Bouligands ihre volle Rechtfertigung. Sich gegenseitig ergänzend und erläuternd eröffnen beide Werke selbst dem Elementarunterricht in der Geometrie neue Möglichkeiten. Der pädagogischen kommt ihre philosophische Bedeutung gleich.In the foregoing article the author endeavours—especially for all who are teaching the Elements—to set forth the significance and importance of two books about geometry. Mr. G. Bouligand's short writing brings out the algebraic and logical structure of that science and presents an »axiomatic« introducing both the notions of »whole« and »group of transformation«. A progressive classification of problems is thus elaborated according to the kinds of solutions that suit them. Mr. F. Gonseth, in his far more comprehensive work, analyses the intuitive, experimental and theoretical aspects of what used to constitute the elementary in classical treatises, then states the researches raised up by Euclid's postulate and leading to the development of the axiomatic method. The triumph of atomism, discovering a world to which the elementary notions of geometry do no longer apply fully, makes it still more difficult to solve the problems of the basing of both geometrical truth and the nature of space. Thanks to his introducing such ideas as »schematic correspondence« and »model«, geometry appears as a rational science in progress using the »axiomatic« as its criterion. But far from offering the characteristics of pure rationality, such an »axiomatic« retains some intuitive bases, even when applied to non‐Euclidian geometries; it organizes a control of our most elementary intuitions by setting them against one another, and secures through their medium the experimental significance and coherence of geometry. Thus a real mutation of the elementary takes place; but it is not owing to mere chance. The method which has presided over that transformation, the historical changes and stages of which are described, is clearly shown, and it is made evident that it also determines the new forms of physics, the theoretical constitution of which does not differ essentially from geometry considered as the rational science of space. That method is the statute of an open science. So Mr. Bouligand's account is fully justified. By elucidating each other, both books open new horizons to the teaching—even elementary—of geometry. The philosophical significance of those books is of no less importance than the pedagogical one. (shrink)

Summary The practice of the disputatio in the medieval universities gave rise to a particular literary genre, the questio. This genre is caracterised by the production of arguments in favour of or against the thesis submitted for questio, before the author develops his own answer. This genre is common to philosophy and theology. But to present a mathematical problem in the form of the questio may seem paradoxical since it leads to the production of false proofs. We shall examine three (...) texts of the 14th and 15th centuries in which is raised the question of the incommensurability of the diagonal and the side of a square: Nicole Oresme's Questions on the geometry of Euclid, an anonymous question from a 15th century manuscript and Blasius of Parma's Questions on Thomas Bradwardine's treatise on ratios. We shall establish a relationship between these three texts. We will show how the mathematical content is combined with the literary genre of the questio. We shall particularly concentrate on the false proofs and consider their status. Finally, we shall ask ourselves how these texts are linked with a possible didactic purpose. Résumé La pratique de la «dispute» dans les universités médiévales a donné lieu à un genre littéraire particulier, la Question. Ce genre est caractérisé par la production d'arguments pour ou contre la thèse soumise à questionnement, avant que l'auteur ne développe sa propre réponse. Ce genre est courant en philosophie et en théologie. Mais présenter un problème mathématique sous la forme d'une Question peut sembler paradoxal: cela conduit en effet à la production de démonstrations fausses. Nous examinerons trois textes des xiv e et xv e siècles dans lesquels est posée la question de l'incommensurabilité de la diagonale et du côté d'un même carré: Les questions sur la géométrie d'Euclide de Nicole Oresme, une question anonyme dont le manuscrit est daté du xv e siècle et les Questions sur le traité des rapports de Thomas Bradwardine rédigées par Blaise de Parme. Nous établirons une filiation entre ces trois textes. Nous montrerons comment s'articule le contenu mathématique avec le genre littéraire de la Question. Nous porterons une attention particulière aux démonstrations fausses sur le statut desquelles nous nous interrogerons. Et nous nous demanderons quel lien entretiennent ces textes avec un éventuel enseignement. (shrink)

« Les sciences s’éloignent de plus en plus de leur motivation première, d’une part parce qu’elles s’enferment dans leurs spécialisations respectives, de l’autre, parce qu’elles se réduisent à une pratique utilitariste ou purement calculatoire. Il faudrait s’employer à réhabiliter une pensée exigeante et transversale capable de repérer les similitudes à l’œuvre dans les disciplines et les phénomènes les plus différents. La compréhension spatiale et temporelle des phénomènes est le dénominateur commun capable de les unifier, tout en en reconnaissant les (...) différences significatives. Dans cette perspective, les mathématiques, et plus particulièrement la géométrie et la topologie qui expriment une pensée qualitative riche et complexe, doivent acquérir à nouveau un rôle fondamental qui, abandonnant toute prétention d’exclusivité ou de supériorité par rapport aux autres formes de connaissance, renoue sur les plans heuristique et imaginatif avec la philosophie, les sciences de la nature et les études sur la société. Le principal propos d’une philosophie de la nature me semble être de clarifier les interactions entre espace et temps, matière et forme, corps et esprit. De nombreux phénomènes physiques et naturels, y compris plusieurs processus biologiques, peuvent être compris en termes de déploiement d’un noyau géométrique initial qui crée en quelque sorte un espace-temps spécifique aux propriétés caractéristiques. Sans épuiser la signification de ces phénomènes et processus, ce noyau constitue plutôt une vision spectrale incluant leurs divers modes d’organisation et de manifestation. ». (shrink)

A la fin du XVIIIe siècle, Emmanuel Kant pouvait encore voir dans les mathématiques le modèle même des jugements synthétiques a priori, c'est-à-dire dotés d'un contenu intuitif propre quoique non dérivé de l'expérience sensible. Des géométries non-euclidiennes à la théorie des transfinis de Cantor, les mathématiques du XIXe siècle vont cependant faire triompher des systèmes mathématiques résolument déductifs et non plus intuitifs. Sur fond d'interrogations quant à la légitimité de ces développements récents, interrogations renforcées par la découverte de paradoxes, d'âpres (...) débats vont alors opposer différentes écoles quant aux méthodes de preuve acceptables ainsi que quant à ce qui constitue le fondement même du savoir mathématique. Logicisme, formalisme et intuitionnisme ; ce sont, à l'époque, pas moins de trois conceptions des mathématiques (et trois programmes pour les mathématiques) qui s'affrontent, conceptions auxquelles il faut ajouter le psychologisme, qui se nourrit de l'essor des sciences humaines et de leurs prétentions épistémologiques. En collant au plus près des textes des principaux protagonistes, l'ouvrage présente de manière tout à la fois synthétique et précise les différentes positions en présence, en soulignant autant que possible leurs divergences, mais en montrant aussi les variations et inflexions qui ont marqué leur développement durant la période 1870-1930. (shrink)

Que lisaient les mathematiciens classiques dans une figure de geometrie, une courbe, un tableau de nombres, une combinaison de signes algebriques? En interrogeant le rapport de ce qui se lit et de ce qui se voit dans les textes mathematiques, cet ouvrage decouvre, entre l'age classique et le XIXe siecle, une transformation de la rationalite plus profonde qu'on a coutume de le penser. Entre la geometrie de Descartes, les series de Leibniz et Bernoulli, la theorie des fonctions chez Euler et (...) Lagrange, et d'autre part les geometries du XIXe siecle, la logique de Boole ou l'analyse de Cauchy, il n'y a pas seulement un progres conceptuel, il y a en verite un basculement du regime de la representation, de l'ordre du langage et des choses. Ce livre n'est pas une histoire des mathematiques. Il est une archeologie de leur discours, en un sens proche de celui que Michel Foucault donnait a ce terme. (shrink)

In this text, I offer an investigation of the role played by “fundamental concepts” within the first sketches of two projects of a reform of metaphysics: the project of Johann Nikolaus Tetens and the project of Immanuel Kant. One year before the Berlin Academy published its famous Prize Question of 1761 (which asks for a comparison of the methods of metaphysics and geometry), Tetens had already published a short text in which he inquired into the causes of the small number (...) of accepted truths within metaphysics. Although the method of geometry has to be recommended, Tetens also thinks that it cannot simply be translated into philosophy, where it never could generate the clarity it is able to bring about in mathematics. Indeed, for Tetens, an essential preliminary for a metaphysics that contains irrefutable truths and that will be able to apply the geometrical method is the inquiry into fundamental ontological concepts. As for Kant, in 1763 he explicitly replied to the question of the Academy, but it is certainly not false to state that his quest for a definitive answer ended only in 1781, with the publication of the Critique of Pure Reason. Presented as a solution to the crisis in metaphysics, this work offers a new theory of objectivity. As we know, within this theory, the first concepts of the understanding (the categories) play an important role. How come that both Tetens and Kant connected the problem of first concepts with the problem of objectivity? And who is indebted to whom? (shrink)

Ce dialogue confronte deux conceptions qui dominent jusqu’à nos jours la philosophie des mathématiques : d’un côté la conception kantienne qui souligne l’irréductible apport de l’intuition dans la formulation des axiomes, ainsi que l’effectivité des procédés de construction ; de l’autre côté la conception bolzanienne qui s’efforce d’éliminer toute intervention de l’intuition au profit des démonstrations et des procédés purement conceptuels.In this dialogue, two opposed conceptions, which dominate the philosophy of mathematics till today, are confronted. Kant’s account of (...) mathematics is based upon the activity of constructing mathematical objects in pure intuition . In yielding objects for mathematics, our intuition contributes in an essential way to the formulation of mathematical truths. Against Kant, Bolzano argues that intuition has place neither in arithmetic nor in geometry and that mathematical existence consists in the possibility of the defined objects. i.e. in non-contradiction. For Bolzano, the central idea of mathematics is that of rigorous proof. (shrink)

Dans un nombre croissant de domaines scientifiques - sciences de la nature, sciences humaines aussi bien que sciences des artefacts -, la simulation ne joue plus le rôle de succédané temporaire d'une théorie encore en gésine parce que non encore élaborée ; c'est-à-dire qu'elle ne joue plus systématiquement le rôle d'un modèle provisoire ou d'un schéma servant à condenser les mesures. C'est qu'elle n'a pas la nature d'un signe graphique, linguistique ou mathématique. Elle joue au contraire de plus en (...) plus le rôle d'une réplication détaillée du réel : elle est une intuition reconstruite avec justesse mais sans abstraction rationnelle et généralisante, donc sans transfiguration iconique. Une des limites de l'épistémologie dialectique de Bachelard tient à ce qu'elle ne donne pas les concepts pour penser assez distinctement ces pratiques contemporaines de simulation. C'est pourquoi l'A. propose de concevoir l'idée que la science contemporaine se développe non plus selon la seule dialectique matérialisme / rationalisme, mais selon la triade rationalisme/computationalisme/matérialisme. (shrink)

Wittgenstein n'a eu de cesse de critiquer la distinction entre géométrie pure et géométrie appliquée. Cette distinction a été notoirement défendue par les positivistes logiques qui, dans le cadre d'une théorie renouvelée de l'a priori, entendaient marquer une séparation nette entre les mathématiques (systèmes formels non interprétés) et la physique (systèmes interprétés, dotés d'une signification factuelle ou empirique). Les raisons de ce partage perdent leur évidence si l'on envisage la géométrie en action, comme une pratique où (...) les règles ne peuvent pas être considérées indépendamment des « coups » qu'elles règlent effectivement. Cette conception « syntaxique » de la géométrie éclaire la signification réelle du « conventionnalisme géométrique » attribué à Poincaré ; elle fait comprendre du même coup les distorsions introduites par les interprétations qui se sont appuyées de façon implicite ou explicite sur la distinction entre le pur et l'appliqué. (shrink)

RÉSUMÉ: Pasch est généralement considéré comme le premier à avoir proposé une axiomatisation de la géométrie. Mais ses Vorlesungen über neure Geometrie (1882) contiennent plusieurs éléments étrangers au paradigme hilbertien. Pasch soutient ainsi que la « géométrie élémentaire », dont il propose une axiomatisation complète, est une théorie empiriquement vraie. Les commentateurs considèrent généralement les différences entre la méthode de Pasch et celle qui deviendra standard après Hilbert comme autant de défauts affectant une pensée encore inaboutie. Notre but (...) consiste au contraire à reconstruire la cohérence et l’originalité de l’approche de Pasch. Nous donnerons d’abord un aperçu du contexte historique dans lequel les Vorlesungen s’inscrivent, pour tenter ensuite de réconcilier l’effort d’axiomatisation et l’empirisme de Pasch. Nous insisterons notamment sur les remarquables procédures logiques que Pasch met sur pied afin d’adapter sa pratique mathématique aux contraintes dictées par sa réflexion philosophique.ABSTRACT: Pasch is usually credited with having presented the first axiomatization of a geometrical theory, but the Vorlesungen über neuere Geometrie (1882) contains many features which do not fit the Hilbertian paradigm. Thus Pasch, while axiomatizing his “elementary geometry,” claims that it is an empirically true theory. Scholars usually regard the discrepancies between Pasch and the post-Hilbertian standard method as mere inconsistencies of Pasch’s theory. On the contrary, this article aims at reconstructing the coherence and originality of the Vorlesungen. We will first display the historical background of this work and then try to reconcile Pasch’s logical axiomatic claim with his empiricist stance. More importantly, we will insist on the remarkable logical procedures worked out by Pasch in order to adapt his mathematical development to the strictures of his broad philosophical position. (shrink)

Prouver des théorèmes est une pratique mathématique qui semble clairement améliorer notre compréhension mathématique. Ainsi, prouver et reprouver des théorèmes en mathématiques, vise à apporter une meilleure compréhension. Cependant, comme il est bien connu, les preuves mathématiques totalement formalisées sont habituellement inintelligibles et, à ce titre, ne contribuent pas à notre compréhension mathématique. Comment, alors, comprendre la relation entre prouver des théorèmes et améliorer notre compréhension mathématique. J'avance ici que nous avons d'abord besoin d'une notion (...) différente de preuve (formelle), qui ne tienne pas la forme pour opposée au contenu. La pratique de la preuve algébrique au xviiie siècle fournit un exemple de preuve à la fois pleinement rigoureuse et porteuse de contenu, et dans ce cas, il est possible de voir comment une preuve mathématique apporte une compréhension mathématique. Il s'agira alors de mobiliser les enseignements de cet exemple pour étudier le type de raisonnement déductif à partir de concepts, qui a constitué la norme dans la pratique mathématique depuis le xixe siècle. (shrink)

René Descartes, émerveillé par la rigueur scientifique des théorèmes de géométrie, en vint à « imaginer » que pouvaient être démontrées avec la même rigueur les conclusions de la philosophie. Son but: s'accoutumer l'esprit « à se repaître de vérités ». Sa méthode : devant toute chose, « qu'on s'abstienne d'en recevoir aucune pour vraie qui ne le soit, et qu'on garde toujours l'ordre qu'il faut pour les déduire les unes des autres ». Son point de départ : les (...) « raisons certaines et évidentes ». En somme, une dialectique consistant àconduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître, pour monter peu à peu, comme par degrés jusqu'à la connaissance des plus composés; en supposant même de l'ordre entre ceux qui ne se précèdent point naturellement les uns les autres. (shrink)

La théorie des catégories vaut tant par ses applications mathématiques que par les débats philosophiques qu’elle suscite. Elle sert à exprimer en topologie algébrique, à déduire en algèbre homologique et, en tant qu’alternative à la théorie des ensembles, à construire des objets en géométrie algébrique dans la conception de Grothendieck. La théorie des catégories est une discipline fondamentale en le sens de Christian Thiel, car elle traite d’opérations typiques de la mathématique de structures. Cette thèse est défendue à (...) l’aide d’une interprétation particulière du pragmatisme peircéen d’après laquelle la justification de la connaissance mathématique ne se fait pas par la réduction à des objets de base mais plutôt, à chaque niveau, par rapport au sens commun technique (les théories de niveau ultérieur ont pour objets les théories des objets originaux). (shrink)

This book is a welcome contribution to the literature on Kant's philosophy of mathematics in two particular respects. First, the author systematically traces the development of Kant's thought on mathematics from the very early pre-Critical writings through to the Critical philosophy. Secondly, it puts forward a challenge to contemporary Anglo-Saxon commentators on Kant's philosophy of mathematics which merits consideration.A central theme of the book is that an adequate understanding of Kant's pronouncements on mathematics must begin with the recognition that mathematics (...) in Kant's time was poised at the beginning of what Pierobon calls the ‘algebraic revolution’ of the nineteenth century. For Kant, Euclidean geometry, with its heavy reliance on the geometric image, was the paradigm of certainty. The algebraic revolution of the nineteenth century replaced that paradigm with an algebraic formalism, thereby freeing mathematics from any connection to the geometric image, and also severing the link to intuition. Pierobon describes this as the ‘divergence between the image and writing [l'écriture]’. So great was the shift, Pierobon suggests, that, after the developments of the nineteenth century, it became difficult to find any sense in Kant's conception of mathematics as sensible knowledge. This, certainly, was the view of Russell, who notoriously claimed in Mysticism and Logic that modern developments in logic dealt a ‘fatal blow to the Kantian philosophy’ and that ‘the whole doctrine of a priori intuitions, by which Kant explained the possibility of pure mathematics, is wholly inapplicable to mathematics in its present form’.1 Pierobon claims, though, that much of Anglo-Saxon commentary on Kant's philosophy of mathematics begins from this ‘rationalist and logicist’ position, reading Kant's philosophy of mathematics from a post-algebraic-revolution perspective. This book attempts to offer a corrective to that position by offering a Kantian conception of mathematics …. (shrink)

Les concepts de paradigme et de thématisation, par lesquels Jean Cavaillès décrit dans l’ouvrage posthume Sur la Logique et la théorie de la science la dynamique de l’activité mathématique, trouvent dans la théorie des catégories à la fois une illustration et une formalisation, et dans la dialectique hégélienne un précédent. Dans un premier temps, nous examinerons cette hypothèse, non sans définir le concept de thématisation et les quelques notions élémentaires de théorie des catégories qui nous serviront par la suite. (...) Ensuite, en supposant hégélienne la notion de « dialectique » employée par Cavaillès, nous vérifierons si le concept de « thématisation » peut prétendre décrire le processus dialectique de la logique hégélienne, interprétation dont nous trouverons l’esquisse chez William Lawvere. Enfin, nous mettrons à l’épreuve cette interprétation en analysant la dialectique hégélienne de l’être et du néant dans la Science de la logique et les Leçons sur l’histoire de la philosophie. Nous verrons ainsi comment la dialectique hégélienne peut tout à la fois décrire la pratique mathématique et s’y voir représenter. (shrink)

Dans son « Découverte d'un nouveau principe de mécanique » (1750) Euler a donné, pour la première fois, une preuve du théorème qu'on appelle aujourd'hui le Théorème d'Euler. Dans cet article je vais me concentrer sur la preuve originale d'Euler, et je vais montrer comment la pratique mathématique d Euler peut éclairer le débat philosophique sur la notion de preuves explicatives en mathématiques. En particulier, je montrerai comment l'un des modèles d'explication mathématique les plus connus, celui proposé (...) par Mark Steiner dans son article « Mathematical explanation » (1978), n'est pas en mesure de rendre compte du caractère explicatif de la preuve donnée par Euler. Cela contredit l'intuition originale du mathématicien Euler, qui attribuait à sa preuve un caractère explicatif spécifique. (shrink)

Nous examinons les conditions de vérité pour des attributions de savoir dans le cas des connaissances mathématiques. La disposition d’une démonstration formalisable semble être un critère naturel :(*) X sait que p est vrai si et seulement si X en principe dispose d’une démonstration formalisable pour p.La formalisabilité pourtant ne joue pas un grand rôle dans la pratique mathématique effective. Nous présentons des résultats d’une recherche empirique qui indiquent que les mathématiciens n’employent pas certaines spécifications de (*) quand (...) ils attribuent du savoir. De plus, nous montrons que le concept de savoir mathématique qui est à la base de l’emploi effectif du mot « savoir » de la pratique mathématique est tout à fait compatible avec certaines intuitions philosophiques mais apparaît comme différent des concepts philosophiques formant la base de (*). (shrink)

Giuseppe Veronese (1854-1917) est connu pour ses études sur les espaces à plusieurs dimensions ; moins connus sont les écrits « philosophiques », qui concernent les fondements de la géométrie et des mathématiques et qui expliquent les raisons pour la construction d’une géométrie non-archimédienne (une dizaine d’années avant David Hilbert) et la formulation d’un concept de continu, qui contient des éléments infinis et infiniment petits. L’article esquissera quelques traits saillants de son épistémologie et analysera le rapport entre (...) class='Hi'>géométrie et intuition spatiale, en comparant les conceptions de l’espace géométrique dans les œuvres de Veronese, Helmholtz et Poincaré. Selon Veronese l’espace intuitif, de même que l’espace géométrique, n’est pas euclidien et il n’a pas un nombre déterminé de dimensions : on peut donc avoir l’intuition aussi bien d’un espace à quatre dimensions que d’un continu non-archimédien. (shrink)

Deux courants de pensée jouent un rôle important dans la philosophie des mathématiques contemporaine. Le structuralisme, s’il n’est pas une idée nouvelle, continue de se déployer en des directions multiples – de la pratique mathématique jusqu’à ses dimensions ontologiques –, et de faire l’objet d’études, par exemple en direction des modalités de sa genèse. L’épistémologie historique, dont la conception classique a été largement enrichie récemment, est également au cœur de débats qui renouvellent la philosophie des sciences bien au-delà (...) de ses problématiques classiques. Son usage en mathématiques requiert toutefois des analyses spécifiques du fait de leurs idiosyncrasies, des notions comme celle de rigueur, d’expérience ou d’ontologie y ayant un sens et une charge historique différentes de celles qu’elles ont dans les sciences de la nature. Le propos de cet article sera de mettre en situation certains de ces débats en se concentrant sur un des phénomènes les plus significatifs du xxe siècle mathématique: le structuralisme de Bourbaki. Il s’intéressera en particulier aux potentialités de l’épistémologie historique, en cherchant à montrer que ses outils permettent de mieux comprendre certains enjeux du structuralisme. L’accent sera mis en particulier sur deux notions clés dans les travaux de Rheinberger, Daston et Hacking, celles d’objets et de concepts épistémiques. (shrink)

RésuméLa qualité essentielle d'un mathématicien est l'imagination; la logique ne sert qu'à mettre les démonstrations sous une forme irréfutable, elle est incapable de les suggérer. L'imagination se fonde sur une sorte d'« intuition » des objets mathématiques étudiés, mais cela n'a que très peu de contact avec ce qu'on appelle d'ordinaire l'« intuition » sensible, les objets mathématiques considérés étant le plus souvent l'aboutissement d'un long processus d'abstraction qui leur ǒte toute possibilité de représentation concrète. Cette « (...) class='Hi'>intuition » mathématique est avant tout le résultat d'une longue familiarité avec le sujet étudié; mais en outre il peut s'opérer des « transferts » d'intuition d'une théorie dans une autre; on en donne quelques exemples qui font ressortir la fécondité de tels transferts. (shrink)

It's well-known that Kant believed that intuition was central to an account of mathematical knowledge. What that role is and how Kant argues for it are, however, still open to debate. There are, broadly speaking, two tendencies in interpreting Kant's account of intuition in mathematics, each emphasizing different aspects of Kant's general doctrine of intuition. On one view, most recently put forward by Michael Friedman, this central role for intuition is a direct result of the limitations (...) of the syllogistic logic available to Kant. On this view, Kant's reasons for introducing intuition are taken to be logical or mathematical, rather than philosophical. The other tendency, which I shall try to develop here, emphasizes an epistemological or phenomenological role for intuition in mathematics arising out of what may loosely be called Kant's ‘antiformalism.’This paper, which focuses specifically on the case of geometry, falls into two parts. First, I consider Kant's discussion of intuition in the Metaphysical Exposition of the concept of space. (shrink)

Depuis Galilée et son affirmation que le Grand Livre de la Nature est écrit en langage mathématique, la science a été une mathématisation progressive des données sensibles fournies par l'observation. Malgré la réticence des philosophes à assumer cet état, certains acceptèrent pourtant de passer par ce détour formel de la mathesis. Car il ne s'agissait plus de se livrer aux méditations faciles sur les formes géométriques, mais de se confronter dorénavant à la rudesse abstraite du langage algébrique. Certes, la (...) démarche réserve aussi le plaisir de comprendre et révèle d'autres harmonies. Mais la marche est difficile. On sait combien certains physiciens du XVIIIe siècle ont protesté contre la pénétration de leur discipline par la puissance de l'analyse. Rapidement, nul ne put être physicien qui ne maîtrisait pas le calcul infinitésimal. La chimie, la biologie plus tard, l'information n'ont pas échappé à la mathématisation. Les compositions géométriques, auxquelles Pascal géomètre restait attaché, devaient laisser la place à l'équation différentielle. Le hasard, l'incertitude même n'échappèrent ni au calcul ni à la formule. La science a substitué à l'élégance du discours celle de la preuve, à l'enchaînement des arguments celui des équations. Le sensible, cette présence originaire au monde, ne peut aujourd'hui accéder à l'objectivité qu'au travers de procédures algébriques qui tracent sur sa chair les lignes de force et d'intelligence qui nous en assurent la compréhension. Il y a là tin défi que la science s'occupe à relever depuis plus de trois cents ans. Il faut bien que la philosophie, sur son mode propre, relève à son tour le même défi. Nous voilà contraints de penser la pensée mathématique du monde. (shrink)

RésuméDans les traités d’algèbre arabes, le Livre II des Éléments d’Euclide devient rapidement une référence traditionnelle, notamment dans la justification du procédé de résolution des équations quadratiques. Cette référence s’écarte toutefois significativement de l’Euclide original. Dans cet article, j’examine les relectures des propositions du livre II effectuées par al-Karaǧī (xie siècle) dans deux de ses écrits algébriques. Inspiré par la variété des pratiques arithmétiques de son époque, al-Karaǧī applique à des nombres les propositions euclidiennes originairement conçues pour des objets géométriques, (...) pour ensuite les utiliser dans un cadre algébrique. Il parvient ainsi à combiner diverses stratégies argumentatives issues de différents domaines. La démarche d’al-Karaǧī sera au fondement du travail d’al-Zanǧānī (xiiie siècle). Ce dernier ne mentionne plus le nom d’Euclide et il conçoit une justification des équations quadratiques (la «cause» de l’équation) totalement interne à l’algèbre. Ces exemples témoignent de l’usage des Éléments comme une boîte à outils pour le développement de l’algèbre et ils mettent davantage en lumière une caractéristique typique des mathématiques médiévales, à savoir l’existence d’une pluralité intrinsèque au nom «Euclide». (shrink)

La notion de lieu occupe dans le système cartésien une place stratégique : elle en manifeste la singularité tant dans le domaine de la physique que dans celui de la métaphysique. En physique, les difficultés sont nombreuses : comment Descartes parvient-il à édifier une philosophie naturelle qui produit, notamment, les lois du choc et celle de la chute des graves, dans un cadre conceptuel qui nie l'existence du vide ainsi que celle de lieux différents? Jusqu'à quel point peut-on parler d'une (...) mathématisation du réel pour un corps de doctrine aussi peu algébrique que possible? Le spectre du roman cartésien doit être chassé afin de saisir la science cartésienne dans sa nouveauté radicale. Mais dès lors que l'on s'interroge sur les motifs conceptuels qui empêchent Descartes d'élaborer une mathématisation du réel, dont la Géométrie semble lui donner les moyens et les Regulae la méthode, on est conduit à préciser la nature des procédures résolutoires de la pensée, leur portée et leurs limites et, ainsi, à entrer de plain-pied dans le champ de la mathématique, tout d'abord, puis dans celui de la métaphysique. Dire ce qu'est et ce que peut un corps s'énonce à partir du savoir de ce qu'est et de ce que peut l'esprit. En effet, Descartes attribue à l'esprit la force et la puissance, non seulement d'inventer et de produire du nouveau, mais également celle, très concrète, d'imprimer une nouvelle détermination aux mouvements des esprits animaux. On peut considérer que la force chez Descartes est indexée au spirituel plutôt qu'au corporel et qu'en dehors de la question singulière de l'Eucharistie, elle n'est efficace qu'à la condition de ne pas être localisée stricto sensu en termes de lieu : Dieu agit dans le monde pour autant qu'il n'en fait pas partie et la glande pinéale est le siège principal de l'âme, sedes et non pas locus. Cette lecture de l'œuvre cartésienne trouve ainsi dans la notion de lieu un thème d'étude particulièrement fécond, dans la mesure où elle est mobilisée à la fois dans la physique et les mathématiques cartésiennes, mais également dans la question de la localisation de Dieu dans le monde, dans celle du Christ sous les espèces consacrées, et dans celle de l'âme dans le corps. Ainsi d'un lieu à un autre, nous sommes conduits au cœur du système cartésien, par un mouvement d'approfondissement réciproque des perspectives. (shrink)

L’Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques de Gabriel Cramer, paru en 1750, a tout de suite bénéficié du soutien de D’Alembert qui l’a inclus dans les références bibliographiques de ses articles de mathématiques de l’Encyclopédie portant sur les courbes. Ainsi choisi et légitimé par l’entreprise encyclopédique et ses reprises, l’ouvrage de Cramer devient objet patrimonial au tournant du xixe siècle pour les mathématiciens, amateurs, professionnels ou enseignants qui travaillent sur les courbes algébriques. Le suivi sur le temps long des (...) mentions de l’Introduction dans les encyclopédies, dictionnaires ou histoires des mathématiques en langue française, ainsi que dans quelques textes d’enseignement, nous permettra de comprendre que ce processus de patrimonialisation n’induit pas sa conservation, sa protection, sa valorisation à de seules fins mémorielles, en figeant l’ouvrage dans un passé immuable. Au contraire, il permet une historicisation critique de la part des acteurs qui les met en position d’interroger et de réactualiser les connaissances et les pratiques que l’œuvre contient, au gré des mouvements d’émergence, de réorganisation et des spécialisations des savoirs mathématiques, quitte à en oublier certains aspects pour en mettre de nouveaux en valeur. (shrink)