Hermann Weyls "Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft" erschien erstmals 1928 als Beitrag zu dem von A. Bäumler und M. Schröter herausgegebenen "Handbuch der Philosophie". Die amerikanische Ausgabe, auf der die deutsche Übersetzung von Gottlob Kirschmer beruht, erschien 1949 bei Princeton University Press. Das nunmehr bereits in der 8. Auflage vorliegende Werk ist längst auch in Deutschland zum Standardwerk geworden.

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Diese erste, umfassende Darstellung von Kants Philosophie der Mathematik unternimmt es, die Aussagen Kants über Mathematik im Kontext seiner jeweiligen philosophischen Problemkonstellation zu verorten. Darüber hinaus werden die Ergebnisse dieser Zuweisungen einer systematischen Evaluation unterworfen. Der Befund: Kants Mathematikbegriff ist durch Prämissen geprägt, die sich aus seinen generellen philosophischen Einstellungen ergeben. Es sind also nicht so sehr die immanenten Probleme der Mathematik, die Kants Bild vom Wesen des Mathematischen bestimmten, sondern vielmehr die systematischen Probleme der Philosophie, die (...) ihn zu einer Auseinandersetzung mit den epistemischen und methodologischen Aspekten der Mathematik nötigten. (shrink)

Before examining de Moivre's contributions to the science of mathematics, this article reviews the source materials, consisting of the printed works and the correspondence of de Moivre, and constructs his biography from them. The analytical part examines de Moivre's contributions and achievements in the study of equations, series, and the calculus of probability. De Moivre contributed to the continuing development from Viète to Abel and Galois of the theory of solving equations by means of constructing particular equations, the roots of (...) which can be written in the form $$\sqrt[n]{{a + \sqrt b }} + \sqrt[n]{{a - \sqrt b }}$$. He also discovered the reciprocal equations. In the course of this work de Moivre discovered an expression equivalent to (cos α+i sin α) n =cos n α+i sin n α and, following Cotes, he succeeded in expressing the nth roots of unity in trigonometric form. In the theory of series, de Moivre developed a polynomial theorem encom-passing Newton's binomial theorem and, in particular, a theorem of recurrent series useful in the calculus of probability. The demands of the calculus of probability led de Moivre to an approximation for the binomial coefficients $$\left( {_m^n } \right)$$ for large values of n. The interaction between de Moivre and James Stirling, particularly in regard to the asymptotic series for log (n!), is treated at length. This work supplied the foundation for de Moivre's limit theorem for the binomial distribution. The calculus of probability, which occupied him from 1708 onward, became in time ever more the center of de Moivre's inquiries. Proceeding from contemporary collections of gambling exercises, de Moivre, by introducing an explicit measure of probability for the so-called Laplace experiments, found the beginnings of a theory of probability. De Moivre expanded the classic application of probability calculus to games of chance by addressing himself to the problem of annuities and by adopting Halley's work with its conception of “Probability of life”. De Moivre was the first to publish a mathematically formulated law for the decrements of life derived from mortality tables. (shrink)

Aristoteles war zwar kein Mathematiker, aber er kannte sich mit der zeitgenössischen Mathematik gut aus. Er ist direkt oder indirekt unsere wichtigste Quelle für unsere Kenntnis der voreuklidischen Mathematik. Die Sammlungen von Heiberg und Heath geben Zeugnis von der Breite und Vielseitigkeit seines Interesses an den mathematischen Wissenschaften.

Wir rekonstruieren einen signifikanten Strang von Max Benses früher intellektueller Entwicklung über sein Verhältnis zu Oswald Spengler, David Hilbert und Heinrich Scholz. Nach einer kurzen Rekapitulation von Spenglers kulturrelativistischem Bild des Mathematischen folgen wir einigen Spuren der Spengler-Lektüre in Max Benses frühen Texten und zeigen, wie sich Bense unter dem Einfluss von Heinrich Scholz ab Ende der 1930er Jahre sukzessive von Spengler distanziert und schließlich ein Konzept ‚reiner Wissenschaft‘ ausbildet, wie es sich unter anderem in David Hilberts formalistischer Mathematik (...) Ausdruck verleiht. Die Verteidigung Hilberts gegen völkische Denker wie Max Steck ist einer der Schauplätze, auf denen Scholz und Bense gemeinsam ihren Weltanschauungsdissens zur NS-Wissenschaftsauffassung artikulieren, gleichwohl sind auch sie Teil des NS-Wissenschaftssystems. (shrink)

Fur Wittgenstein haben als 'grundlegend' gedachte mathematische Bemuhungen, wie sie sich in den logizistischen Systemen Freges und Russells, der Mengentheorie und der nach Konsistenzbeweisen fur solche Systeme suchenden Beweistheorie Hilberts zeigen, keineswegs einen nennenswerten grundlegenden Charakter, sondern es handelt sich bei ihnen um normale Stucke Mathematik wie andere auch. Im Teil III der Bemerkungen uber die Grundlagen der Mathematik entwickelt er seine Kritik an jenen Grundlegungsanspruchen in vielfaltigster Weise, und dieser Kommentar zeichnet seine Gedankengange in all ihren Verastelungen (...) nach. Dabei wird nicht nur der veroffentlichte Text berucksichtigt, sondern auch samtliche relevanten Nachlasspassagen, aus denen er hervorgegangen ist und ohne die er teilweise gar nicht verstanden werden kann. Der Kommentar ist sowohl kritisch als auch konstruktiv: Mangel werden als solche benannt und Erganzungen und Verbesserungen vorgeschlagen, wenn es moglich erscheint. Das Ergebnis sind Wittgensteinsche Gedankengange, die ungleich uberzeugender und vernunftiger sind, als dies bislang in der Literatur uber Wittgensteins Philosophie der Mathematik sichtbar war. (shrink)

[1] Die Mathematik und die Wissenschaften.--2. Die Mathematik in der Kunst.

Dieses Buch blickt in eine bedeutende Epoche der Philosophie der Mathematik zurück, deren Strömungen die heutige Gestalt der Mathematik prägten. In der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert befand sich die Mathematik in einem fundamentalen Umbruch, der die Mathematiker dieser Zeit herausforderte. Sie mussten Stellung beziehen. Die Grundsätze und Wege der philosophischen Richtungen, die dieses Buch verständlich, kritisch und anerkennend beschreibt, wurden von Mathematikern formuliert. Eine Zeit gravierender Disharmonien begann, die bis in Streit und Feindschaften mündeten und (...) zugleich faszinierende und fruchtbare Ergebnisse hervorbrachten, mathematisch wie philosophisch. Es war ein aufregendes, intellektuelles Abenteuer zu Beginn des 20. Jahrhunderts auf einem außergewöhnlich scharfsinnigen und kreativen Niveau. Die Debatte über die unversöhnlichen Ansichten versiegte allmählich und inzwischen ist wieder relative Ruhe in die Gemeinde der Mathematiker eingekehrt. Zentrale philosophische Fragen aber, die damals die Protagonisten spalteten, sind nach wie vor unbeantwortet. Die Suche nach dem Wesen der Mathematik geht weiter und greift auf die Ideen dieser Kontroversen zurück. (shrink)

Der Beitrag der Mathematik zur Naturwissenschaft besteht darin, Erkenntnisse a priori von den (empirischen) Gegenständen der letzteren zu gewinnen und - unter der Voraussetzung, daß es überhaupt Empirisches gibt - , die Existenz solcher Gegenstände a priori zu sichern. Die Aufgabe der Metaphysik ist es, besondere Begriffe ( in bezug auf die körperliche Natur) zu bilden und die Prinzipien für deren mathematische Konstruktion zu entwickeln. Die so "metaphysischkonstruierten" Begriffe werden dann durch Angabe empirischer Modelle physikalisch interpretiert.

Excerpt from Die Philosophischen Prinzipien der Mathematik Dieser Stand der Dinge hat sid1 während der zweiten Hälfte des 19.1ahrhunderß vollständig geändert. Auf der einen Seite erfaßten die Mathematiker ihren Vorgängern unbekannte logische Bedenken; sie begannen ihre Beweismethoden zu analysieren. About the Publisher Forgotten Books publishes hundreds of thousands of rare and classic books. Find more at www.forgottenbooks.com This book is a reproduction of an important historical work. Forgotten Books uses state-of-the-art technology to digitally reconstruct the work, preserving the original (...) format whilst repairing imperfections present in the aged copy. In rare cases, an imperfection in the original, such as a blemish or missing page, may be replicated in our edition. We do, however, repair the vast majority of imperfections successfully; any imperfections that remain are intentionally left to preserve the state of such historical works. (shrink)

Gerade heute, wo sich die Aufmerksamkeit der führenden Philosophen, Logiker und Mathematiker erneut auf die Grundlagen der systematisch-deduktiven Mathematik richtet, ist dieses Buch von zeitnaher und tiefer Bedeutung.

Wittgensteins Aufzeichnungen zur Mathematik erscheinen fragmentarisch, sind jedoch erstaunlich tiefgründig, präzise und kohärent. Sie erlauben daher weitreichende Einblicke in seine grundlegende philosophische Denkweise. Ausgehend von Wittgensteins Kritik an Cantors Diagonalbeweis und seiner Einschätzung reeller Zahlen wird in der vorliegenden Arbeit Wittgensteins Philosophie der Mathematik einer Neubewertung zugeführt. Es wird dargelegt, dass seine Einwände gegen den Diagonalbeweis weder so unbegründet sind, wie ihm seine Gegner vorwerfen, noch so diplomatisch, wie seinen Verteidigern lieb wäre. Vielmehr illustrieren sie die konstruktivistischen, konventionalistischen (...) und revisionistischen Züge seiner Philosophie der Mathematik. (shrink)

Altere Lehrbücher der Mathematik pflegten damit zu beginnen, die Frage nach dem Wesen der Mathematik und ihrer einzelnen Teilgebiete zu beantworten, ja, geradezu Definitionen dieser Be griffe zu geben. Wir sind heute davon abgekommen. Mit Recht! Denn eine solche Frage gehört nicht an den Anfang, sondern an den Schluß einer gewissen Beschäftigung mit Mathematik. Erst wenn man bereits etwas von der Mathematik kennengelernt hat, erscheint es angebracht, sich einmal über die mathematische Methode, über den Aufbau des (...) Lehrgutes und über seine Grundlage klarzuwerden. Es haben zahlreiche frühere Lehrpläne für höhere Schulen einen "wiederholenden Aufbau des Zahlbegriffes" in die Ober klassen verlegt. Es haben die Meraner Vorschläge und nach ihnen andere moderne Stoffpläne als Abschluß des mathematischen Unterrichts "Rückblicke unter Heranziehung geschichtlich€'[und philosophischer Gesichtspunkte" gefot:dert. Die preußischen Richt linien vom Jahre 1925 legten sowohl in den methodischen Bemerkungen wie in den Lehrplänen großen Nachdruck auf derartige philosophisch vertiefte Rückblicke: "Logik und Er kenntnistheorie finden einen Platz in der Mathematik. Auch die psychologischen Grundlagen des mathematischen Denkens soll der Unterricht berühren. Einzelfragen wie Zahlen- und Raumvor stellungen sind nach Möglichkeit philosophisch zu vertiefen- so heißt es in ihnen. Auch die Marienauer Vorschläge (1945), um wenigstens einen der neuen Pläne zu nennen, fordern: "Aufbau und Grundlage der Mathematik: Entwicklung des Zahl-und Funk tionsbegriffes, axiomatisches Verfahren der Grundlegung am Bei spiel der Geometrie, Ausblicke auf Logik und Erkenntnislehre. (shrink)

Einleitung Die Kantische Philosophie der Mathematik ist nach einer weitverbreiteten Meinung in ihren Grundzügen überholt. Die moderne Mathematik gilt, ganz unkantisch, als analytisches Denken. Im folgenden soll für eine partielle Verteidigung von Kants Philosophie der Mathematik argumentiert werden. Sie hat nämlich den Gegenstandsbezug der Mathematik und deren Anwendungsrelation zu ihrem zentralen Problem gemacht. Für Kant war es die Anschauung, die den gegenständlichen Bezug ermöglichen sollte und in dieser Funktion ist sie, wie von einem anwendungsorientierten Standpunkt aus (...) argumentiert wird, keineswegs überholt. Die Verteidigung ist aber nur partiell, da Kant von einem apriorisch fixierten Anschauungsbegriff ausging und es diesen durch einen „naturalisierten“ Begriff zu ersetzen gilt. (shrink)

Vorwort über das Leben der Mathematiker.--Die Bernoullis.--Leonhard Euler und die Phantasie in der Mathematik.--Gauss und die Mathematik.--Geist und Character d'Alemberts.--Evariste Galois.--über Niels Henrik Abels.--Bernard Bolzanos Grösse.--Felix Klein, der Systematiker der Geometrie.--David Hilbert.

"In Zeiten, in denen jahrzehntelang stabile Vertrauensverhältnisse global immer stärker erschüttert werden, suchen die Menschen nach neuen Vertrauensansätzen. Die libertäre Philosophie hinter Bitcoin nutzt einfache und verständliche Techniken aus der Mathematik, um ein Währungssystem ohne Banken und Staaten zu schaffen. Durch die Geschwindigkeit und die weltweite Verfügbarkeit von Kommunikationsnetzen findet somit ein völlig neuartiges gesellschaftliches Experiment statt. In times in which stable relationships of trust have been increasingly shaken around the globe for decades, people are looking for new approaches (...) to the ability to trust. The libertarian philosophy behind Bitcoin uses simple and understandable mathematical techniques to create a monetary system without banks and states. The speed and worldwide avail- ability of communication networks thus make for a completely new social experiment.". (shrink)