For the Introduction of a Conceptual Perspective in Mathematics: Dedekind, Noether, van der Waerden. „She [Noether] then appeared as the creator of a new direction in algebra and became the leader, the most consistent and brilliant representative, of a particular mathematical doctrine – of all that is characterized by the term ‚Begriffliche Mathematik‘.“2 The aim of this paper is to illuminate this “new direction”, which can be characterized as a conceptual [begriffliche] perspective in mathematics, and to comprehend (...) its roots and trace its establishment. Field, ring, ideal, the core concepts of this new direction in mathematical images of knowledge, were conceptualized by Richard Dedekind (1831–1916) within the scope of his number theory research and associated with an understanding of a formation of concepts as a “free creation of the human spirit”3. They thus stand for an abstract perspective of mathematics in their entirety, described as ‘modern algebra’ in the 1920s and 1930s, leading to an understanding of mathematics as structural sciences. The establishment of this approach to mathematics, which is based on “general mathematical concepts” [allgemein‐mathematische Begriffe]4, was the success of a cultural movement whose most important protagonists included Emmy Noether (1882–1935) and her pupil Bartel L. van der Waerden (1903–1996). With the use of the term ‘conceptual’, a perspective is taken in the analysis which allows for developing connections between the thinking of Dedekind, the “working and conceptual methods” [Arbeits‐ und Auffassungsmethoden]5 of Noether as well as the methodological approach, represented through the thought space of the Noether School as presented under the term “conceptual world” [Begriffswelt]6 in the Moderne Algebra of van der Waerden. This essay thus makes a contribution to the history of the introduction of a structural perspective in mathematics, a perspective that is inseparable from the mathematical impact of Noether, her reception of the work of Dedekind and the creative strength of the Noether School. (shrink)

M. Wetzel: Objektiver Idealismus und Prinzip Subjektivität in der Philosophie der Natur - G. F. Frigo: Aristoteles' Einfluß auf Hegels Naturphilosophie - W. Neuser: Das Anderssein der Idee, das Außereinandersein der Natur und der Begriff - H.-H. von Borzesz-kowski / R. Wahsner: Gibt es eine Logik der Physik als Vorstufe zur Hegelschen Begriffslogik - E.-O. Onnasch: System und Methode in der Philosophie Hegels - B. Braßler: Vorzüge einer Theorie der Dialektik - L. Fleischhacker: Mathematik und Natur, Verwandte oder Fremde (...) - P. Stekeler-Weithofer: Mathematisches und begriffliches Denken in Hegels Wissenschaft der Logik - M. J. Petry: Physik und Mathematik um 1790: Hegel und Schelling als Schüler Pfleiderers - P. Ziche: Raumdimensionen und Prinzipienreduktion. Beweise für die Dreidimensionalität des Raumes bei Schelling und Hegel - T. Bach: Leben als Gattungsprozeß: Historisch-systematische An-merkungen von Pflanze und Tier bei Hegel - S. Büttner: Das Manko des Organischen und die Krankheit als dessen Wahrheit - O. Breidbach: Überlegungen zur Typik des Organischen in Hegels Denken - C. Illies: Die Gene, die Meme und Wir - W. Kellerwessel: Reschers idealistische Dialektik - V. Hösle: Wahrheit und Verstehen. Davidson, Gadamer und das Desiderat einer objektiv-idealistsichen Hermeneutik - P. Várdy: Das Lächerliche und das Absolute - A. Rieckers: Photons and Mcroscopic Reality. (shrink)

Die "Paradoxien des Unendlichen" sind ein Klassiker der Philosophie der Mathematik und zugleich eine gute Einführung in das Denken des "Urgroßvaters" der analytischen Philosophie. Das Unendliche - seit jeher ein Faszinosum für die philosophische Reflexion - wurde in der Zeit nach der Grundlegung der Analysis durch Leibniz und Newton in der Mathematik zunächst als Problem betrachtet, das sich nicht vollkommen widerspruchsfrei behandeln lässt. Bernard Bolzano, der heute als "Urgroßvater der analytischen Philosophie" (Michael Dummett) gilt, zeigt in diesem klassisch (...) gewordenen Text jedoch, dass es beim Nachdenken über das Unendliche, sofern man begrifflich differenziert argumentiert und klare Definitionen zugrunde legt, keine echten Widersprüche gibt und sich die "Paradoxien des Unendlichen" auflösen lassen. Bolzano setzt sich zunächst mit den Unendlichkeitsbegriffen der Mathematik und der (idealistisch geprägten) Philosophie seiner Zeit auseinander, bevor er sich Schritt für Schritt die analytischen Grundlagen einer konsistenten Theorie des Unendlichen erarbeitet. Bereits einige Jahrzehnte vor Georg Cantors bis heute maßgeblicher mathematischer Unendlichkeitsdefinition gelingt Bolzano mit diesem Werk, dessen logische Klarheit und dessen Grad an philosophischer Durchdachtheit bis heute Beispielcharakter haben, die Rehabilitation des Unendlichen für die Philosophie der Mathematik. Die "Paradoxien des Unendlichen" wurden zuerst 1851 aus dem Nachlass herausgegeben. Diese Neuausgabe beruht auf dem der Erstausgabe zugrundeliegenden Manuskript. (shrink)

Als sich die Denkschulen der anglo-amerikanischen Philosophie des 20. Jahrhunderts formierten, wurden Whitehead und Russell zu Symbolfiguren der spekulativen Denkrichtung auf der einen und der analytischen Ansätze auf der anderen Seite. Der eine beschäftigte sich mit der Konstruktion einer umfassenden Metaphysik; der andere betonte das Streben nach begrifflicher Klarheit mit den Mitteln präziser logischer und linguistischer Analyse. Die antithetische Beziehung dieser beiden widerstreitenden Parteien ist allerdings weniger offensichtlich, wenn wir die Ziele in den Blick nehmen, die Whitehead und Russell teilten, (...) unmittelbar nachdem sie in ihrem Monumentalwerk Principia Mathematica an den Grundlagen der Mathematik zusammengearbeitet hatten. Beide waren nun mit einem anderen grundlegenden Projekt der Philosophie der Physik befasst. Whitehead und Russell entwickelten, als offensichtlichste Konsequenz aus den revolutionären Fortschritten der modernen Physik, jeder für sich eine Ereignisontologie, doch waren sie unterschiedlicher Ansicht darüber, wie diese Ontologie als metaphysische Grundlage der Physik zu interpretieren sei. Das Ziel meines Essays ist es daher, die Affinitäten und Gegensätze in Whiteheads und Russells Ansichten darüber herauszuarbeiten, wie das ausgedehnte Universum, bestehend aus Materie und „leerem“ Raum, als eine Mannigfaltigkeit von Ereignissen zu denken sei. Ich zeige außerdem, wie viel von Russells Metaphysik von Whiteheads früher Arbeit beeinflusst war. Während Russell selbst diesen Einfluss großzügig anerkannte, wird er von Kommentatoren seiner Philosophie selten zur Kenntnis genommen. (shrink)

Dieses Buch ist ein wichtiges studienbegleitendes Hilfsmittel für alle die Mathematik-Lehrveranstaltungen besuchen. Die Lektüre dieses Buch ermöglicht Ihnen, begriffliche Sicherheit für Mathematik-Vorlesungen und Prüfungen aufzubauen. Die Lektüre jedes Kapitel dieses Buches erlaubt Ihnen, einen Überblick über die Begriffe eines Teilgebiets der Mathematik zu erhalten und diese Begriffe nachhaltig zu erfassen. Wenn Sie als Student einen mathematischen Begriff nicht richtig verstehen oder sich an seine Definition nicht erinnern, können Sie in diesem Buch nachschlagen und erhalten durch paradigmatische (...) Beispiele und Bilder ein fundiertes Verständnis des Begriffs. Arbeiten Sie ein Kapitel dieses Buches in Vorbereitung einer Prüfung durch, so können Sie sich in begrifflicher Hinsicht in der Prüfung sicher fühlen. Insgesamt finden sich in diesem Buch mehr als tausend Definitionen von Begriffen aus vierzehn Teilgebieten der Mathematik. Die Auswahl der Begriffe orientiert sich in jedem Kapitel an den Vorlesungen zum behandelten Thema, die an deutschen Hochschulen gehalten werden. Alle wesentlichen Begriffe, die in Mathematik-Vorlesungen in Bachelorstudiengängen vorkommen und auch alle grundlegenden Begriffe der Mathematik-Vorlesungen in Masterstudiengängen sind in diesem Buch enthalten. Dieses Buch stellt also einen Kanon mathematischer Begriffe vor, der auch für Lehrende von Interesse ist. (shrink)

Spinoza's metaphysical thesis that there is only one substance in the universe but a plurality of modes, each of them falling under an attribute, raises a crucial question. How are modes of thinking, i.e. ideas, related to modes of extension? This paper intends to show that there are at least two answers, depending on an understanding of the equivocal term ‘idea’. If ideas are taken to be mental acts, they are identical with modes of extension. If, however, they are understood (...) in the “objective” way, namely as the conceptual content of mental acts, they correspond to modes of extension. It is argued that this method of disambiguating the term ‘idea’ not only helps to understand Spinoza's famous doctrine of parallelism but that it also provides a solution to two puzzling problems: the possibility of “active affects” and the existence of an eternal mind. (shrink)

Geschlecht und Gewalt, das Thema dieses Bandes, betrifft nicht nur die Frage nach den Charakteristika und Ursachen sexueller Aggression, sondern auch die Frage nach angeblichen geschlechtsspezifischen Formen der Aggression. Der vorliegende Beitrag befasst sich mit beidem und diskutiert sie als Teil von begrifflichen Ausweitungen der Kampfzone, d.h. der Erweiterungen des Aggressionsbegriffs im Verlauf der wissenschaftlichen Aggressionsforschung der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts. Der Beitrag zeigt unter Anderem: was als Aggression wahrgenommen wird und in der Wissenschaft als solche gezählt wird, verändert (...) sich mit der Gesellschaft. Dabei wird aus epistemologischer bzw. wissenschaftsphilosophischer Perspektive gezeigt, wie sich rassistische, Status-, und Geschlechtsstereotype auf begriffliche Entscheidungen in wissenschaftlicher Forschung auswirken und somit die wissenschaftliche Arbeit am Begriff beeinflussen können. (shrink)

Hermann Weyls "Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft" erschien erstmals 1928 als Beitrag zu dem von A. Bäumler und M. Schröter herausgegebenen "Handbuch der Philosophie". Die amerikanische Ausgabe, auf der die deutsche Übersetzung von Gottlob Kirschmer beruht, erschien 1949 bei Princeton University Press. Das nunmehr bereits in der 8. Auflage vorliegende Werk ist längst auch in Deutschland zum Standardwerk geworden.

Mit der Entfaltung des Problems der „zwei Reihen“, der Genesis philosophischer Begriffsbildung, vollzog Fichte einen paradigmatischen Einschnitt im Hinblick auf die Fassung der Rolle begrifflicher Momente in der menschlichen Erkenntnis. Dieser Schnitt erscheint aus der Perspektive des durch Hegel entfalteten Prinzips des Aufsteigens vom Abstrakten zum Konkreten gleichsam als ‚erledigt’. Eine solche Perspektive verdeckt jedoch den vollzogenen qualitativen Umbruch. Dieser gewinnt dadurch Kontur, wenn die durch Fichte angesprochenen Positionen in Beziehung zu der vorangegangenen Ausbildung methodischer Positionen in der europäischen Aufklärung (...) gesetzt werden. -/- With the development of the problem of the "two rows", the genesis of philosophical concept formation, Fichte made a paradigmatic break with regard to the understanding of the role of conceptual moments in human knowledge. From the perspective of the principle developed by Hegel of ascending from the abstract to the concrete, this cut appears as 'done', so to speak. Such a perspective, however, conceals the qualitative upheaval that has taken place. This gains contours when the positions addressed by Fichte are related to the previous formation of methodical positions in the European Enlightenment. (shrink)

Aristoteles war zwar kein Mathematiker, aber er kannte sich mit der zeitgenössischen Mathematik gut aus. Er ist direkt oder indirekt unsere wichtigste Quelle für unsere Kenntnis der voreuklidischen Mathematik. Die Sammlungen von Heiberg und Heath geben Zeugnis von der Breite und Vielseitigkeit seines Interesses an den mathematischen Wissenschaften.

SummaryIn order to use modern infinitary mathematics in the natural sciences, human beings have developed a corresponding picture of the world. The gnomes have made a similar step for their trade — books e.g. are sold and bought in infinite sets. In a gnomic‐human dialogue the problems arrising from such attitudes are discussed and a path from modern to postmodern mathematics is sketched.

Gerade heute, wo sich die Aufmerksamkeit der führenden Philosophen, Logiker und Mathematiker erneut auf die Grundlagen der systematisch-deduktiven Mathematik richtet, ist dieses Buch von zeitnaher und tiefer Bedeutung.

Wir rekonstruieren einen signifikanten Strang von Max Benses früher intellektueller Entwicklung über sein Verhältnis zu Oswald Spengler, David Hilbert und Heinrich Scholz. Nach einer kurzen Rekapitulation von Spenglers kulturrelativistischem Bild des Mathematischen folgen wir einigen Spuren der Spengler-Lektüre in Max Benses frühen Texten und zeigen, wie sich Bense unter dem Einfluss von Heinrich Scholz ab Ende der 1930er Jahre sukzessive von Spengler distanziert und schließlich ein Konzept ‚reiner Wissenschaft‘ ausbildet, wie es sich unter anderem in David Hilberts formalistischer Mathematik (...) Ausdruck verleiht. Die Verteidigung Hilberts gegen völkische Denker wie Max Steck ist einer der Schauplätze, auf denen Scholz und Bense gemeinsam ihren Weltanschauungsdissens zur NS-Wissenschaftsauffassung artikulieren, gleichwohl sind auch sie Teil des NS-Wissenschaftssystems. (shrink)

Keine ausführliche Beschreibung für "Mathematik und Weltanschauung" verfügbar.

Before examining de Moivre's contributions to the science of mathematics, this article reviews the source materials, consisting of the printed works and the correspondence of de Moivre, and constructs his biography from them. The analytical part examines de Moivre's contributions and achievements in the study of equations, series, and the calculus of probability. De Moivre contributed to the continuing development from Viète to Abel and Galois of the theory of solving equations by means of constructing particular equations, the roots of (...) which can be written in the form $$\sqrt[n]{{a + \sqrt b }} + \sqrt[n]{{a - \sqrt b }}$$. He also discovered the reciprocal equations. In the course of this work de Moivre discovered an expression equivalent to (cos α+i sin α) n =cos n α+i sin n α and, following Cotes, he succeeded in expressing the nth roots of unity in trigonometric form. In the theory of series, de Moivre developed a polynomial theorem encom-passing Newton's binomial theorem and, in particular, a theorem of recurrent series useful in the calculus of probability. The demands of the calculus of probability led de Moivre to an approximation for the binomial coefficients $$\left( {_m^n } \right)$$ for large values of n. The interaction between de Moivre and James Stirling, particularly in regard to the asymptotic series for log (n!), is treated at length. This work supplied the foundation for de Moivre's limit theorem for the binomial distribution. The calculus of probability, which occupied him from 1708 onward, became in time ever more the center of de Moivre's inquiries. Proceeding from contemporary collections of gambling exercises, de Moivre, by introducing an explicit measure of probability for the so-called Laplace experiments, found the beginnings of a theory of probability. De Moivre expanded the classic application of probability calculus to games of chance by addressing himself to the problem of annuities and by adopting Halley's work with its conception of “Probability of life”. De Moivre was the first to publish a mathematically formulated law for the decrements of life derived from mortality tables. (shrink)

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

Fur Wittgenstein haben als 'grundlegend' gedachte mathematische Bemuhungen, wie sie sich in den logizistischen Systemen Freges und Russells, der Mengentheorie und der nach Konsistenzbeweisen fur solche Systeme suchenden Beweistheorie Hilberts zeigen, keineswegs einen nennenswerten grundlegenden Charakter, sondern es handelt sich bei ihnen um normale Stucke Mathematik wie andere auch. Im Teil III der Bemerkungen uber die Grundlagen der Mathematik entwickelt er seine Kritik an jenen Grundlegungsanspruchen in vielfaltigster Weise, und dieser Kommentar zeichnet seine Gedankengange in all ihren Verastelungen (...) nach. Dabei wird nicht nur der veroffentlichte Text berucksichtigt, sondern auch samtliche relevanten Nachlasspassagen, aus denen er hervorgegangen ist und ohne die er teilweise gar nicht verstanden werden kann. Der Kommentar ist sowohl kritisch als auch konstruktiv: Mangel werden als solche benannt und Erganzungen und Verbesserungen vorgeschlagen, wenn es moglich erscheint. Das Ergebnis sind Wittgensteinsche Gedankengange, die ungleich uberzeugender und vernunftiger sind, als dies bislang in der Literatur uber Wittgensteins Philosophie der Mathematik sichtbar war. (shrink)

Altere Lehrbücher der Mathematik pflegten damit zu beginnen, die Frage nach dem Wesen der Mathematik und ihrer einzelnen Teilgebiete zu beantworten, ja, geradezu Definitionen dieser Be griffe zu geben. Wir sind heute davon abgekommen. Mit Recht! Denn eine solche Frage gehört nicht an den Anfang, sondern an den Schluß einer gewissen Beschäftigung mit Mathematik. Erst wenn man bereits etwas von der Mathematik kennengelernt hat, erscheint es angebracht, sich einmal über die mathematische Methode, über den Aufbau des (...) Lehrgutes und über seine Grundlage klarzuwerden. Es haben zahlreiche frühere Lehrpläne für höhere Schulen einen "wiederholenden Aufbau des Zahlbegriffes" in die Ober klassen verlegt. Es haben die Meraner Vorschläge und nach ihnen andere moderne Stoffpläne als Abschluß des mathematischen Unterrichts "Rückblicke unter Heranziehung geschichtlich€'[und philosophischer Gesichtspunkte" gefot:dert. Die preußischen Richt linien vom Jahre 1925 legten sowohl in den methodischen Bemerkungen wie in den Lehrplänen großen Nachdruck auf derartige philosophisch vertiefte Rückblicke: "Logik und Er kenntnistheorie finden einen Platz in der Mathematik. Auch die psychologischen Grundlagen des mathematischen Denkens soll der Unterricht berühren. Einzelfragen wie Zahlen- und Raumvor stellungen sind nach Möglichkeit philosophisch zu vertiefen- so heißt es in ihnen. Auch die Marienauer Vorschläge (1945), um wenigstens einen der neuen Pläne zu nennen, fordern: "Aufbau und Grundlage der Mathematik: Entwicklung des Zahl-und Funk tionsbegriffes, axiomatisches Verfahren der Grundlegung am Bei spiel der Geometrie, Ausblicke auf Logik und Erkenntnislehre. (shrink)

Excerpt from Die Philosophischen Prinzipien der Mathematik Dieser Stand der Dinge hat sid1 während der zweiten Hälfte des 19.1ahrhunderß vollständig geändert. Auf der einen Seite erfaßten die Mathematiker ihren Vorgängern unbekannte logische Bedenken; sie begannen ihre Beweismethoden zu analysieren. About the Publisher Forgotten Books publishes hundreds of thousands of rare and classic books. Find more at www.forgottenbooks.com This book is a reproduction of an important historical work. Forgotten Books uses state-of-the-art technology to digitally reconstruct the work, preserving the original (...) format whilst repairing imperfections present in the aged copy. In rare cases, an imperfection in the original, such as a blemish or missing page, may be replicated in our edition. We do, however, repair the vast majority of imperfections successfully; any imperfections that remain are intentionally left to preserve the state of such historical works. (shrink)

"In Zeiten, in denen jahrzehntelang stabile Vertrauensverhältnisse global immer stärker erschüttert werden, suchen die Menschen nach neuen Vertrauensansätzen. Die libertäre Philosophie hinter Bitcoin nutzt einfache und verständliche Techniken aus der Mathematik, um ein Währungssystem ohne Banken und Staaten zu schaffen. Durch die Geschwindigkeit und die weltweite Verfügbarkeit von Kommunikationsnetzen findet somit ein völlig neuartiges gesellschaftliches Experiment statt. In times in which stable relationships of trust have been increasingly shaken around the globe for decades, people are looking for new approaches (...) to the ability to trust. The libertarian philosophy behind Bitcoin uses simple and understandable mathematical techniques to create a monetary system without banks and states. The speed and worldwide avail- ability of communication networks thus make for a completely new social experiment.". (shrink)

Diese erste, umfassende Darstellung von Kants Philosophie der Mathematik unternimmt es, die Aussagen Kants über Mathematik im Kontext seiner jeweiligen philosophischen Problemkonstellation zu verorten. Darüber hinaus werden die Ergebnisse dieser Zuweisungen einer systematischen Evaluation unterworfen. Der Befund: Kants Mathematikbegriff ist durch Prämissen geprägt, die sich aus seinen generellen philosophischen Einstellungen ergeben. Es sind also nicht so sehr die immanenten Probleme der Mathematik, die Kants Bild vom Wesen des Mathematischen bestimmten, sondern vielmehr die systematischen Probleme der Philosophie, die (...) ihn zu einer Auseinandersetzung mit den epistemischen und methodologischen Aspekten der Mathematik nötigten. (shrink)

Unter Bezugnahme auf Philosophie und Mathematik schlägt dieser Artikel allgemeine Formeln für das Digitale und das Analoge vor, wobei das Digitale als das Verhältnis der diskreten Terme (a/b), das Analoge als eine Verhältnisgleichung (a/b = c/d) definiert sind. Mit diesen allgemeinen Formeln zur Hand werden wir in der Lage sein, zwei der häufigsten operativen Ontologien (Digitalität und das Analoge) zu erforschen und gleichzeitig ein ontologisches Szenario zu enthüllen, in dem keines der beiden zutrifft. Taking into account both philosophy and (...) maths, this article suggests general formulas for both the digital sphere and the analogue, defining the digital sphere as a relation of discrete terms (a/b) whereas the analogue is described as a proportion (a/b = c/d). Falling back on those general formulas, one will be able to study two of the most frequently used operative ontologies (the digitality and the analogue) while at the same time unveiling an ontological scenario to which none of the aforementioned ontologies apply. (shrink)

ZusammenfassungIm allgemeinen Vorverständnis sind Ethik und Mathematik nahezu disjunkt. Demgegenüber möchte dieser Aufsatz verdeutlichen, dass eine Verhältnisbestimmung der beiden ein eminentes Forschungsdesiderat ist, und zugleich versuchen, erste Schritte zu einer solchen zu unternehmen.SummaryAccording to common sense ethics and mathematics are nearly disjoint. To the contrary, this paper fosters the view that it is highly desirable to develop a relation between these two perspectives and it tries to do first steps towards this goal.

In komplexen Gesellschaften muss man sich im Arbeits- und Privatleben auf weit mehr Personen verlassen, als man deren Vertrauenswürdigkeit jemals überprüfen könnte. Dies steht im scharfen Kontrast zum wachsenden Misstrauen in die Leistungsträger*innen aus Wissenschaft, Medien und Politik. Im Zentrum dieses Gegensatzes steht die Figur des Experten. Doch was sind Experten*innen und wie kann man sie erkennen? Christian Quast widmet sich diesen Fragen aus philosophischer Perspektive. Eine zentrale These lautet, dass trotz des unvermeidlichen Vertrauens in Expert*innen, sich diese auch dem (...) ihnen entgegengebrachten Vertrauen als »würdig« erweisen müssen. Expertise ist also nicht einfach mit dem Besitz bestimmter Kompetenzen zu verwechseln, sondern ist ein provisorischer Status, der entzogen werden kann, sobald Expert*innen sich nicht in verantwortlicher Weise verhalten. (shrink)