Ce dialogue confronte deux conceptions qui dominent jusqu’à nos jours la philosophie des mathématiques : d’un côté la conception kantienne qui souligne l’irréductible apport de l’intuition dans la formulation des axiomes, ainsi que l’effectivité des procédés de construction ; de l’autre côté la conception bolzanienne qui s’efforce d’éliminer toute intervention de l’intuition au profit des démonstrations et des procédés purement conceptuels.In this dialogue, two opposed conceptions, which dominate the philosophy of mathematics till today, are confronted. Kant’s account of mathematics is (...) based upon the activity of constructing mathematical objects in pure intuition . In yielding objects for mathematics, our intuition contributes in an essential way to the formulation of mathematical truths. Against Kant, Bolzano argues that intuition has place neither in arithmetic nor in geometry and that mathematical existence consists in the possibility of the defined objects. i.e. in non-contradiction. For Bolzano, the central idea of mathematics is that of rigorous proof. (shrink)

The author first investigates how to precise and get to the core of the sense of a word in common language. Any definition, however appropriate it may seem, is in fact inadequate. The word must be considered as a moment of a precising activity, which is particularly clear in the case of analogy as a word and an idea. With that in view, the concept of the scheme is explained and it is examined in which horizon a mental scheme may (...) have an existence of its own. In order to provide a satisfactory answer, it is necessary to investigate and uncover the structure of subjectivity, to make it understood that the basic principles of mathematics arise from elaborating some of these disciplines in relation with a scheme.Two fields of existence may then be said analogous if they may be considered as two different realisations of a scheme. The views gained in investigating the structures of subjectivity permit to realize how the result may be extended to mathematical models and how the part played by those mathematical models may be precised. (shrink)

J'entends montrer que Berkeley ne traite pas de la physique mathématique dans les Principes de la connaissance humaine, alors qu'il aurait dû le faire. En effet, la manière dont il conçoit la nature est, sur des points cruciaux, à l'opposé de ce qui fonde le traitement géométrique des phénomènes. Dans cette mesure, l'application des mathématiques reste un impensé de l'immatérialisme en 1710, et elle ne sera prise en charge que dans le De Motu. My aim is to show (...) that Berkely does not deal with mathematical physics in the Principles of Human Knowledge, even although he should have addressed the question. The way he conceives nature differs on crucial themes from what grounds the geometrical treatment of phenomena. Thus, the use of mathematics in physics is a blind point of immaterialism in 1710 ; Berkeley will deal with this question only in the De Motu, ten years after. (shrink)

Le choix de définitions « naturelles » ou « correctes » est un aspect fondamental de la recherche mathématique qui a été négligé dans l’étude de la connaissance mathématique. L’une des raisons qui expliquent cet abandon tient au sentiment qu’ont eu de nombreux auteurs que la préférence pour une définition au détriment d’une autre ne pouvait être que « simplement psychologique » ou « subjective » en sorte que de tels jugements ne pouvaient pas être philosophiquement intéressants. (...) Je discute ici d’un sens minimal du terme « objectif » selon lequel on pourrait de manière défendable argumenter que de tels choix de définitions préférées sont objectivement corrects, en dépit des raisons apparemment « esthétiques » qui soutiennent un tel jugement.Choosing « natural » or « correct » definitions is a fundamental aspect of mathematical research that has been neglected in studies of mathematical knowledge. One reason for this neglect may be a sense that many writers seem to have that a preference for one definition over another can only be « merely psychological » and « subjective » in a way that prevents such judgments from being philosophically interesting. I discuss a minimal sense of « objective » according to which such choices of preferred definitions can be defensibly argued to be objectively correct, despite the seemingly « aesthetic » grounds for the judgement. (shrink)

1. La recherche des sources de la pensée produit un effet libérateur. — 2, 3. On trouve chez Descartes la source de la doctrine d’une science rationnelle et autonome. — 4-7. Cette idée inspire certains essais méthodiques modernes, dont l'origine cartésienne paraît assurée. — 8. En revanche, l’évidence géométrique a perdu son fondement traditionnel avec la découverte des géométrics non euclidiennes. — 9. A la certitude totale se substitue la vérité pratiquement assurée. — 10. Le sens d’aucune notion n’est fixé (...) d’une manière immuable. — 11. La connaissance n’est pas nécessairement univoque. — 12. La connaissance n’est pas purement rationnelle, — 13. même la connaissance mathématique. — 14. La nouvelle méthode part d’une sorte d’évidence qui ne s’attache pas à une notion prise à part et qui peut s’énoncer ainsi: L’unité de la connaissance scientifique consiste en ce que chaque partie en reflètele tout. (shrink)

L’histoire du texte des Régles pour la Direction de l’Esprit (Regulae) de Descartes est un peu singulière: non publié du vivant de Descartes, il n’a paru qu’en 1701, dans les Opera Posthuma d’Amsterdam. De façon plus significative, et contrairement aux autres traités cartésiens perdus, ce texte secret n’est jamais explicitement evoqué par Descartes, fût-ce au détour d’une correspondance. Par leur étroite dépendance vis à vis des mathématiques, les Regulae sont cependant un texte majeur, constitutives de la pensée de leur auteur (...) dans ses années de jeunesse (1619-1628), et par là de toute la philosophie moderne. Descartes avait jugé le texte suffisamment important pour I’emmener à Stockholm, où il a été découvert apres sa mort, dans ses papiers.Entre les mathématiques et les Regulae, ce texte “éclatant et obscur” (J.P. Weber), il est ces trois types principaux de rapports croisés que nous tâcherons d’analyser: historiquement d’abord, quelles furent la formation et I’expérience mathématique du jeune Descartes, qui constituerent, à notre sens, I’armature conceptuelle du texte. Quelles sont ensuite les voies par lesquelles, dans les Regulae, Descartes a putransmuer cette expérience mathématique premiere à la fois en une pratique, une méthode, une théorie de la connaissance, enfin en une épistémologie assez radicalement neuve. Enfin, et prenant Descartes au sérieux nous examinerons à I’occasion cette question: quel est le sort réservé, de nos jours, à cette épistémologie cartésienne, en particulier confrontée aux mathématiques contemporaines? (shrink)

L’œuvre mathématique de La Ramée est constituée d’ouvrages publiés tout au long de sa carrière. Les éditions abrégées des Éléments d'Euclide, ses manuels d’arithmétique et de géométrie plusieurs fois remaniés, un court traité d’algèbre ainsi que les Scholae mathematicae de 1569 sont autant d’ouvrages dans lequels il met en œuvre une réforme des mathématiques héritées et de leur enseignement. Des justifications de cette réforme apparaissent dans les trois livres d’un Prooemium mathematicum portant sur l’histoire des mathématiques, la défense de (...) leur « utilité » et une critique sévère de l’exposé euclidien. Pour autant, l’œuvre mathématique de La Ramée ne doit pas être mise à part de l’œuvre philosophique qu’il élabore par ailleurs. Dans cet article, je m’efforce de le montrer en m’interrogeant d’abord sur les raisons qui ont poussé La Ramée à se tourner, au début de sa carrière, vers les mathématiques ; l’examen du livre I du Prooemium mathematicum me permet ensuite d’examiner le rôle que jouent Platon, Aristote et Euclide dans son histoire des mathématiques. Finalement, je suis amené, en abordant la critique raméenne de l’ « abstraction » pythagoricienne, à chercher dans les éditions de la Dialectica et les Scholae in liberales artes les éléments d’une « philosophie des mathématiques » – conception originale de la nature des objets mathématiques et de la façon dont on accède à leur connaissance – qui offre une certaine lumière sur la réforme des mathématiques qu’entreprend La Ramée. (shrink)

RésuméVivre, agir, c'est participer à des répétitions qui laissent en nous une marque et finissent par nous faire acquérir une pratique. La réflexion vient ensuite, utilise ces marques, en forme des images qu'elle peut évoquer à volonté, et qu'elle structure en représentations: langage intérieur, puis langage de communication. Une « intuition » est l'affleurement conscient d'une marque laissée par la pratique, et son insertion quasi‐instantanée dans le système des représentations internes. Les progrès alternés dans la pratique, dans l'association des images, (...) dans le langage, dans l'action se suscitent les uns les autres, au cours d'une évolution conditionnée par nos structures physiologiques .La pratique sur laquelle s'exerce ainsi la réflexion peut ětre la pratique měme de la réflexion. A chaque pratique particulière s'associe une technique: à l'origine empirique, puis, par réflexions successives, rationnelle, mathématique, formelle .Mais toute mathématique suppose un mathématicien, tout langage formalisé un méta‐langage, et la connaissance ne se laisse jamais enfermer dans une technique ultime: on retrouve les trois horizons de l'idonéisme. Le développement intellectuel qui va d'un niveau au niveau supérieur est à rapprocher du développement de l'embryon; l'ontogenèse répète la Phylogenèse; on ne peut atteindre un niveau de connaissances qu'en passant par les niveaux intermédiaires atteints successivement par nos prédécesseurs; il n'existe pas de raccourci, et la connaissance future ne peut ětre prévue par les moyens de la connaissance actuelle.SummaryTo live and to act is to share in repetitions which impress marks upon us and eventually makes us acquire a practice. Reflection comes later on, using those marks, shaping them into images that it can conjure up at will, and structuring them into representations: first inner language, then communication language. An « intuition » is the conscious outcrop of a mark left by practice and its quasi‐instantaneous insertion into the system of inner representations. Alternating progress in practice, in image‐ association, in language and in action give rise to one another in the course of an evolution conditionned by our physiological structure .The practice on which reflection exerts itself can be the very practice of reflection. To each particular practice is associated a technique, originally empirical, then, through a succession of reflections, rational, mathematical, formal .But every mathematics supposes a mathematician, every formalized language a metalanguage, and knowledge can never be shut into an ultimate technique: one is once more confronted with the three horizons of idoneism. Intellectual development, going from a certain level to an upper level, is to be compared with the development of an embryo; ontogenesis repeats phylogenesis; one can only reach a certain level of knowledge by going through intermediate levels successively reached to by our predecessors; there is no short cut, and future knowledge cannot be foreseen through the ways of present knowledge. (shrink)

La recherche historique dans le cours du dernier demi-siècle a amélioré notre connaissance des mathématiques de I 'Antiquité. Les textes en provenance d'Égypte et de Mésopotamie ont été mieux compris et leur interprétation a dépassé l'alternative sommaire entre empirisme et rationalisme. Le panorama offert par la science grecque s'est enrichi et diversifié: il n'est plus possible de le réduire à la seule théorie géométrique. Les principaux problèmes que posait son histoire ont été l'objet de discussions approfondies. À partir de (...) là des questions plus générales d'ordre épistémologique et philosophique sont soulevées. Y a-t-il un sens à chercher dans un lointain passé une « origine » unique des mathématiques? Quel rapport y at- il entre la forme des mathématiques dans une civilisation et la structure de la société? L'anthropologie culturelle peut-elle aider à interpréter la diversité et l'unité des mathématiques des divers peuples? À partir de quand et sous quelles conditions une histoire unique des mathématiques peut-elle commencer? (shrink)

La philosophie de l’histoire des mathématiques entretient chez Cavaillès un rapport étroit et contrasté, avec celle que Brunschvicg expose dans La Modalité du jugement (1897). L’activité du jugement scientifique y est dite mixte, entre jugements (idéaux) d’intériorité et jugements (réalistes) d’extériorité. La forme mixte de l’activité historique de la connaissance est la modalité du possible. D’où une épistémologie historique qui revendique la filiation idéaliste kantienne et rejette l’idéalisme spéculatif. Cavaillès, penseur de la nécessité créatrice du devenir mathématique, réduisant (...) le rôle de la possibilité et de l’aventure intellectuelle dans son histoire, se détache par là d’un maître dont un Canguilhem serait demeuré plus proche. L’histoire mathématique récente, en préparant à un Kronecker sa revanche sur les conceptions ensemblistes abstraites qui inspiraient le nécessitarisme de Cavaillès, conduit à reconsidérer le radicalisme qui l’opposait à la philosophie brunschvicgienne de la modalité du jugement. (shrink)

Mes réflexions sur Meyerson et les mathématiques ont pour origine trois questions : 1) Une idée reçue est que, des trois synthèses de Meyerson -- Identité et réalité, De l'explication dans les sciences et Du cheminement de la pensée -- , seule la dernière analyse les mathématiques, en elles-mêmes aussi bien que dans leurs rapports avec la pensée. La première question est donc de déterminer si cette idée reçue est correcte ou bien si l'on peut trouver dans les deux autres (...) ouvrages des indications significatives sur le statut des mathématiques et sur leur fonction dans une théorie de la connaissance. 2) La deuxième question consiste à examiner une autre idée reçue, cautionnée cette fois par Meyerson. À plusieurs reprises, ce dernier a déclaré qu'il avait répété la même chose dans tous ses ouvrages : les outils conceptuels seraient restés identiques, mais appliqués à des objets ou dans des domaines divers, de la physique quantique à la pensée primitive. Il s'agit dans ce cas de savoir si cette déclaration est fondée, ou bien plutôt si l'on doit, par-delà l'identité des termes, souligner l'existence de différences de signification ou d'application telles que l'identité des outils conceptuels en devient problématique. 3) Meyerson s'est trouvé confronté à un ensemble d'épistémologues que, reprenant une expression de Léon Brunschvicg, il qualifie d'idéalistes mathématiques, d'un côté l'école de Marbourg avec Ernst Cassirer, Paul Natorp et Hermann Cohen, de l'autre, Gaston Milhaud, mais surtout Brunschvicg lui-même . S'il s'avère qu'il y a des thèses sur les mathématiques ailleurs que dans Du cheminement de la pensée, et qu'il y a certains infléchissements d'un lieu à l'autre de son œuvre, on peut se demander dans quelle mesure les critiques adressées à l'idéalisme mathématique ont évolué. Dans cet article, j'analyse les trois synthèses de Meyerson avec ces trois questions en arrière-plan : je ne les examine pas explicitement l'une après l'autre, ni a fortiori dans un ordre prédéterminé, mais plutôt de biais et au fur et à mesure qu'elles interviennent. (shrink)

Parler de l'homme connaissant, c'est poser des questions, notamment : une perspective scientifique unifiée sur l'esprit ("cognitivisme") est-elle légitime? En quoi l'intuition et la construction de concepts peuvent-elles rendre compte des mathématiques, mais aussi, analogiquement, de l'art et de la langue? Quel rapport y a-t-il entre la connaissance et les normativités morale et juridique? Les présents essais – "L'esprit pensé", "Ce que nous devons à Augustin", "L'intuition et après", "La morale et la fable" – abordent ces questions fondatrices à (...) partir d'un point de vue critique sur les différents régimes de nos connaissances. (shrink)

En 1814, Ampère publie une théorie de la combinaison chimique des corps qu'il fonde sur la science des cristaux de Hauy, sur « les résultats de belles expériences » de Gay-Lussac et sur une hypothèse « sur la proportionnalité entre les volumes des gaz et leur nombre de particules ». A la même époque, il met en évidence, en philosophie, les rôles de l'abstraction et des « rapports » dans les connaissances humaines ; ces concepts éclairent la mathématisation mise en (...) œuvre dans cette théorie chimique. Bien que conçue tardivement, la classification des sciences d'Ampère nous aide à situer, rétrospectivement, la théorie des combinaisons chimiques dans les sciences mathématiques et physiques. (shrink)

Avez-vous remarqué que dans le monde tout ce qui compte va par quatre? La musique : timbre, harmonie, rythme et mélodie. Le repérage : altitude, latitude, longitude et datation. Les quatre aspects de la cause: pour quoi, avec quoi, par quoi et selon quoi? Les forces de la nature : interactions faible, forte, électromagnétique et gravitationnelle... Les vingt-quatre particules élémentaires qui constituent la matière une famille de six leptons associée à trois familles de quarks. Et aussi la logique d'un discours (...) nuancé : oui, non, oui et non, ni oui ni non. Pourquoi quatre est-il partout? La notion de quaternité apporte une réponse à la fois simple et surprenante à cette question. A partir d'exemples tirés de l'expérience humaine, les auteurs en dégagent les aspects structurels et s'en servent pour approfondir le sens des mathématiques et de divers autres domaines liés à la genèse de la connaissance. Il s'agit d'une nouvelle épistémologie, fondée sur un modèle logique qui complète celui d'Aristote. (shrink)

Nicolas de Cues, cardinal, théologien et mathématicien, dernier philosophe médiéval et première grande figure de l’humanisme naissant, est de plus en plus largement connu, que ce soit à travers ses textes, des ouvrages de vulgarisation ou des romans. Dans une littérature francophone qui accorde une importance grandissante à la traduction de ses différents traités, la littérature critique reste encore trop pauvre et parcellaire depuis les travaux déjà anciens de M.de Gandillac, et l’on ne peut que saluer avec intérêt le travail (...) d’interprétation de Jean-Michel Counet, chargé de cours en Philosophie et théologie médiévales à l’Université de Louvain-la-Neuve, qui tente, après Ernst Cassirer, de renouveler l’approche de l’œuvre. Son propos consiste plus précisément à redonner son importance au principe de coïncidence des opposés, négligé par le commentateur allemand au profit du seul principe de la docte ignorance et ce, dans l’étroite perspective d’une valorisation de la subjectivité de la connaissance. Loin d’être un simple principe épistémologique, la coïncidence des opposés, unité et identité des contraires et contradictoires dans la simplicité divine, apparaîtrait comme un véritable principe métaphysique chargé de donner réponse aux grandes questions de la philosophie médiévale. (shrink)

Les articles de ce recueil discutent les principes de la pensee mathematique qui ont fait le partage entre les trois fameuses options philosophiques: logicisme, formalisme et intuitionnisme. Leur auteur, Paul Bernays, fut un des plus proches collaborateurs de David Hilbert, qui a si profondement marque de son empreinte les mathematiques du XXe siecle et la philosophie construite a leur sujet. Defenseur de l'infini, de la methode axiomatique, des structures generales, des raisonnements abstraits, de la formalisation logique, Hilbert a investi une (...) grande energie pour ancrer ces audacieuses conquetes sur le terrain balise et controlable du fini, de l'intuitif, du concret, du constructible. Les essais de Bernays sont un precieux guide pour mieux s'orienter dans la pensee logique et philosophique de Hilbert et se debarasser une bonne fois des prejuges hatifs qui jalonnent les opinions ressassees sur le formalisme, le finitisme, le platonisme, etc. Mais ces essais nous decouvrent aussi un penseur libre, parlant de sa propre voix. Sensible a la pluralite des approches possibles, assumant le risque de se rectifier sans cesse, mesure dans sa visee d'une certitude pratique plutot que d'une verite absolue, Bernays defend l'idees que les mathematiques ne sont pas un reservoir de connaissance, mais une activite de l'esprit reagissant a des situations. (shrink)

Sommaire :- L'épistémologie et ses variétés - Logique - Épistémologie des mathématiques - Épistémologie de la physique - Épistémologie de la biologie - Épistémologie des sciences humaines - Classification des sciences et principaux courants épistémologiques contemporains. Ouvrage collectif complété d'un index et d'une table analytique.

«Mettre les faits d’accord avec la philosophie de Platon»: voilà une maxime qui remonte au Commentaire de Proclus au premier livre des Éléments d’Euclide, oeuvre centrale pour la constitution du savoir au Cinquecento et plus particulièrement pour la définition du statut opératoire des mathématiques. Au cours du XVIe siècle, Euclide apparaît en effet comme le véritable médiateur entre platonisme et aristotélisme, au demeurant moins par son oeuvre de géomètre que par son geste épistémologique qui semble tracer l’unique voie possible pour (...) accéder à la connaissance de toutes les choses, soit sensibles soit métaphysiques. Les interprétations de Jacopo Mazzoni ("In universam Platonis et Aristotelis philosophiam praeludia, sive de comparatione Platonis et Aristotelis", 1597) et de Francesco Barozzi ("Opusculum, in quo una oratio, et duae quaestiones: Altera de certitudine, et altera de medietate mathematicarum continentur", 1560), que j’examine dans mon article, offrent deux perspectives différentes, qui redonnent une actualité philosophique au néoplatonisme mathématique de Proclus. (shrink)

L'AUTEUR PROCEDE EN TROIS ETAPES A UNE LECTURE HISTORIQUE DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE DE RUSSELL. *LA PREMIERE PHASE - PRINCIPLES OF MATHEMATICS, 1903 - OPERE LA CONSTRUCTION DE LA LOGIQUE FORMELLE ET LA REDUCTION DES MATHEMATIQUES A CETTE NOUVELLE LOGIQUE. RUSSELL PREND POUR GUIDE LA GRAMMAIRE PHILOSOPHIQUE POUR ELABORER SA LOGIQUE, DEVELOPPE UNE CONCEPTION REFERENTIELLE DE LA SIGNIFICATION ET ADOPTE UNE PHILOSOPHIE REALISTE (RELATIONS EXTERNES, ATOMISME LOGIQUE...) *LA SECONDE PHASE -"ON DENOTING", 1905- MONTRE COMMENT LA NOUVELLE LOGIQUE, DEVENUE AUTONOME, PRODUIT, (...) EN RETOUR, UNE ANALYSE DU LANGAGE NATUREL. LA QUANTIFICATION AUTORISE UNE DEFINITION CONTEXTUELLE DES DESCRIPTIONS DEFINIES QUI DISPENSE DE TOUT ENGAGEMENT ONTOLOGIQUE. *LA TROISIEME PHASE -PRINCIPIA MATHEMATICA, 1910-13- ACHEVE LA REALISATION DU PROJET LOGICISTE. LA THEORIE RAMIFIEE DES TYPES EVITE LES PARADOXES ET L'USAGE SYSTEMATIQUE DES DEFINITIONS CONTEXTUELLES REDUIT LES CLASSES, RELATIONS, NOMBRES... (RASOIR D'OCCAM). FORT DE CE SUCCES, RUSSELL REND COMPTE DE NOTRE CONNAISSANCE DES ELEMENTS IRREDUCTIBLES : DONNEES SENSIBLES, FAITS ET UNIVERSSAUX NON DEFINISSABLES. IL VA MEME JUSQU'A ETENDRE LA REDUCTION LOGICISTE A NOTRE CONNAISSANCE, COMMUNE ET SCIENTIFIQUE, DU MONDE EXTERIEUR. MAIS LA GIGANTESQUE CONSTRUCTION DES PRINCIPIA ECHOUE PARCE QUE RUSSELL ET WHITEHEAD DOIVENT, IN FINE, ADMETTRE TROIS ASSOMPTIONS NON LOGIQUES : LES AXIOMES MULTIPLICATIF, D'INFINI ET DE REDUCTIBILITE. EN 1925, RUSSELL ET RAMSEY SE DISPENSERONT DE L'AXIOME DE REDUCTIBILITE. (shrink)

Résumé Cet article propose de revenir sur le programme d’histoire concrète de l’abstraction proposé par Jean-Claude Perrot dans les années 1990, pour montrer quels en sont les apports pour l’histoire des mathématiques. En mettant l’accent sur les dynamiques sociales, culturelles et matérielles dans lesquelles s’élaborent les connaissances, ce programme fournit en effet des outils pour analyser non seulement les modalités de circulation des mathématiques, mais surtout les effets concrets des pratiques symboliques, souvent laissées de côtés dans les travaux historiens sur (...) les sciences. Plus encore, le programme d’histoire concrète de l’abstraction constitue en objet d’histoire le processus qui permet aux traces matérielles des activités savantes passées et aux modalités de raisonnements qu’elles véhiculent de parvenir jusqu’à nous tout en transcendant leurs conditions initiales de production. Il offre ainsi un cadre analytique pour étudier le rapport des mathématiques au temps historique. (shrink)

L'histoire des fondements des mathématiques du xxe siècle montre qu'il nous faut réviser la signification des notions philosophiques traditionnelles comme « évidence », « existence », « expérience » ou « rationalité ». On expose comment le logicien Paul Bernays, familier des conceptions de la philosophie de Jacob Friedrich Fries et de Léonard Nelson, donne aux résultats techniques une interprétation philosophique dont il s'inspire de plus en plus - à partir du milieu du siècle - de la « philosophie ouverte (...) » de Ferdinand Gonseth. Bien avant Thomas Kuhn, Bernays conçoit la révision envisagée non pas simplement comme une question de vérité ou de fausseté, mais comme un problème exigeant l'introduction d'un nouveau système conceptuel. Cependant, l'affaiblissement du concept de vérité est pour lui une conséquence épistémologique provenant de la théorie de la connaissance adoptée et non une conséquence méthodologique issue d'un changement de paradigme et donc d'une incommensurabilité. (shrink)

Quoi de plus inerte que les objets mathématiques. Rien ne les distingue de la pierre et pourtant, à les considérer dans leur perspective historique, ils semblent bien ne pas être aussi dénués de vie qu’il n’y paraı̂t. Conçus par l’homme, ils laissent entrevoir le souffle qui les anime. Pris dans les rets d’un langage, ils ne peuvent se séparer de la forme que les forces tensives qui les contraignent leur ont donnée. S’ils n’ont pas de vocation biologique spécifique, ils sont (...) pour autant toujours et avant tout des possibilités de vie, des objets de puissance. Bien qu’ils ne connaissent ni la douleur, ni le rire, ils ont par leur mode ou leur style d’existence une forme de vie singulière qui structure le donné ou la matière des autres entités auxquels ils participent. De ce fait, en s’immisçant dans l’armature de ces entités, ils conditionnent leur forme d’espace, les enjoignant de se plier à une charpente qu’elles n’ont pas choisie. (shrink)

La conception des mathématiques chez Poincaré est une pièce maîtresse de sa théorie de la connaissance. Les mathématiques y jouent un rôle constitutif et médiateur, très proche de celui que Kant leur avait assigné dans sa Critique. Afin d’éclaircir les rapports complexes entre les notions d’intuition, de construction et de convention chez Poincaré, nous nous appuyons sur les analogies et les contrastes avec la source kantienne. La continuité et la cohérence de la théorie de la connaissance de Poincaré (...) en sortent renforcées.Poincaré’s philosophy of mathematics plays a key role in his general philosophy of knowledge. Mathematics is considered, by Poincaré, as a constitutive element of experience and it plays a “schematic” role between the conventional frameworks of geometry and theoretical physics on one hand and, on the other hand, sensations. We stress the Kantian roots of such a conception of mathematics, trying to explain the respective importance of the notions of intuition, construction and convention in Poincaré’s theory of knowledge. (shrink)

L’insuffisance du logicisme pour la question des fondements des mathématiques nous invite à la poser sous un point de vue épistémologique, en termes de rationalité et non plus seulement de logique, et à l’étendre aux sciences formalisées portant sur la nature, comme la physique, voire à la pensée scientifique en général. On doit tenir compte, dans tous les cas, des changements qui correspondent à des constructions conceptuelles : ce sont eux qui assurent en même temps, après coup, le bien-fondé des (...) théories qui les ont préparés, en sorte que si des fondements rationnels peuvent être obtenus, ce n’est, en règle générale, que « vers l’avant ». Ces changements posent également la question de leurs conditions de possibilités. La conclusion est qu’il faut admettre, pour que ces changements, et avec eux un accroissement de la connaissance, soient possibles, des transformations corrélatives dans les formes mêmes de la rationalité, mathématique, physique et, d’une manière générale, de la rationalité scientifique. (shrink)

La géométrie souterraine est une science mathématique pratique, qui se développe dans les exploitations minières et dont la diffusion est considérablement modifiée au cours du xviiie siècle. Ce phénomène est lié à l’institutionnalisation graduelle de la discipline, de l’établissement d’un système de compagnonnage à la création d’académies des mines. Progressivement, les pratiques vont faire appel à de nouvelles méthodes et intégrer une solide formation en mathématiques théoriques. La circulation et l’enseignement des connaissances sont dans un premier temps basés sur (...) un système de manuscrits qui sera étudié en détail. L’exemple du Markscheider August Beyer (1677-1753) illustre ce processus collectif de constitution et de transmission de connaissances, dont la diffusion est cependant contrôlée. Nous analysons dans un second temps l’évolution des vecteurs de circulation et son influence sur la discipline, en nous appuyant sur la biographie de deux mathématiciens saxons, J.A. Scheidhauer (1718-1784) et son discipline J.F. Lempe (1757-1801). Leurs parcours croisés symbolisent la transformation de la discipline. Le passage à l’imprimé, la publication d’articles dans des revues spécialisées et la création de chaires académiques font de la géométrie souterraine une science reconnue qui reste cependant en dehors du corpus de connaissances et des débats universitaires. (shrink)

Les Principes de la connaissance humaine sont l'occasion pour Berkeley de nier l'existence des idées générales abstraites. Il admet cependant l'existence d'idées générales, plus exactement d'idées déterminées à signification générale. C'est ainsi qu'il peut rendre compte de la généralité de certaines démonstrations. L'exemple choisi est celui de l'idée de triangle dans le cadre d'une démonstration géométrique. Mais peut-on également rendre compte de cette manière des démonstrations et des idées algébriques et notamment celle de quantité? In the Principles of human (...) knowledge, Berkeley clearly denies the existence of abstract general ideas. He assumes, however, the existence of general ideas or, more exactly, of determinate ideas with a general meaning. In this way, he explains the generality of certain demonstrations. He chooses the example of the idea of a triangle within a geometrical demonstration. But can he likewise account for algebraic demonstrations and ideas, and in particular for the idea of quantity? (shrink)

Le corps entier des sciences peut estre consideré comme l’ocean, qui est continué partout, et sans interruption ou partage, bien que les hommes y conçoivent des parties, et leur donnent des noms selon leur commodité. Et comme il y a des mers inconnues, ou qui n’ont esté navigeés que par quelques vaisseaux que le hazard y avoir jettés: on peut dire,[10] de même qu’il y a des sciences dont on a connu quelque chose par rencontre seulement et sans dessein. L’art (...) des combinaisons est de ce nombre; elle signifie chez moy, autant que la science des formes ou formules ou bien des variations en general. En un mot, c’est la Specieuse universelle ou la Characteristique. De sorte qu’elle traite de eodem et diverso; de simili et dissimili; de absoluto et relato; comme la Mathematique ordinaire traite de [15] uno et multis, de magno et parvo, de toto et parte. On peut même dire que la Logistique ou bien l’Algebre luy est sousordonnée en un certain sens. Car lorsqu’on se sert de plusieurs notes indifferentes, ou qui au commencement du calcul pouvoient estre echangées et substituées mutuellement sans faire tort au raisonnement, en quoy les lettres d’Alphabet sont fort propres; et lors que ces lettres ou notes signifient des grandeurs, ou [20] des nombres generaux, il en vient l’Algebre ou plus tost la Specieuse de Viete. Et c’est justement en cela que consiste l’avantage de l’Algebre de Viete et de Descartes sur celle des anciens, qu’en se servant des lettres au lieu des nombres tant connus, qu’inconnus, on vient a des formules, ou il y a quelque liaison et ordre, qui donne moyen à nostre esprit de. (shrink)

Après avoir indiqué ce qu’il entend par Mathématiques pures et par Théorie de la connaissance, Vuillemin annonce, dans l’Introduction au premier tome de La Philosophie de l’algèbre, que son but est double. En considérant le « rapport étroit » et l’« affinité d’inspiration » entre ces deux disciplines, il se propose d’examiner, d’une part, « comment une connaissance pure est possible » et, d’autre part, de « critiquer, reformer et définir, autant qu’il se pourra, la méthode propre à (...) la philosophie théorique » grâce aux « analogies » repérées dans la connaissance mathématique. Ce double but dérive du constat, reposant sur l’analyse de l’histoire des mathématiques et de la philosophie, qu’« un renouvellement des méthodes de celles-là a, à chaque fois, des répercussions sur celle-ci ». Les renouvellements des méthodes que les mathématiques modernes induisent portent essentiellement, selon Vuillemin, sur les notions de structure, d’infini et de logique. Le deuxième tome de La Philosophie de l’algèbre devait donc montrer comment définir la méthode propre à la philosophie théorique. On essaiera de montrer comment le dernier chapitre du premier tome de cet ouvrage contient en soi des difficultés qui commanderont l’abandon du projet et comment l’idée de pluralisme qui y est esquissée exige une refonte conceptuelle que Vuillemin ne fournira que plus de vingt ans après. (shrink)

Nous examinons les conditions de vérité pour des attributions de savoir dans le cas des connaissances mathématiques. La disposition d’une démonstration formalisable semble être un critère naturel :(*) X sait que p est vrai si et seulement si X en principe dispose d’une démonstration formalisable pour p.La formalisabilité pourtant ne joue pas un grand rôle dans la pratique mathématique effective. Nous présentons des résultats d’une recherche empirique qui indiquent que les mathématiciens n’employent pas certaines spécifications de (*) quand ils (...) attribuent du savoir. De plus, nous montrons que le concept de savoir mathématique qui est à la base de l’emploi effectif du mot « savoir » de la pratique mathématique est tout à fait compatible avec certaines intuitions philosophiques mais apparaît comme différent des concepts philosophiques formant la base de (*). (shrink)

Une question commune à la sixième Recherche logique de Husserl et au Tractatus de Wittgenstein est la question du statut des équations mathématiques, et plus largement des jugements d’identité. Elle est de savoir si le mathématicien énonce des propositions, pourvues comme telles d’un caractère de vérité possible, ou au contraire de simples règles de substitution destinées au calcul. Telle que l’a formulée Frege, cette question peut se résumer ainsi: existe-t- il une connaissance mathématique? Sur ce point, la position (...) de Husserl peut être interprétée comme un moyen terme entre celle de Kant et celle de Wittgenstein. A question common to the sixth Logical Research of Husserl and to Wittgenstein’s Tractatus is the question of the status of mathematical equations, and more broadly of judgements of identity. It is that of whether the mathematician expresses propositions, which as such bear a character of possible truth, or, on the contrary, simple rules of substitution useful for calculations. As formulated by Frege, this question can be summarized as follows: does mathematical knowledge exist? In reply to this question Husserl’s position may be interpreted as being midway between that of Kant and that of Wittgenstein. (Transl. by J. Dudley). (shrink)

Le rôle des mathématiques dans la formation des officiers de l’armée néerlandaise, a profondément changé pendant le premier xixe siècle avec la fondation de l’Académie militaire en 1828. Les mathématiques étaient au centre de la formation. L’Académie était un des lieux les plus importants de diffusion des connaissances mathématiques aux Pays-Bas pendant la première moitié du xixe siècle, mais elle a perdu ce rôle pendant les années 1860-1870. Dans cet article, je me propose d’examiner à la fois les programmes de (...) l’Académie et le rôle central des enseignants de mathématiques de l’Académie dans la Société Mathématique néerlandaise et dans l’Académie royale des Sciences. Par ailleurs, l’évolution des mathématiques, visible dans ces deux institutions dans les années 1850, n’a pas entraîné une adaptation des programmes au sein de l’Académie. Ainsi, à partir de 1870, l’Académie a presque complètement disparu de la vie mathématique des Pays-Bas. The role of mathematics in the education of Dutch army officers changed dramatically in the early 19th century. This shift became visible with the founding of the Dutch Royal Military Academy in 1828, which shows the role of mathematics in military education shifting toward a purely pedagogical function. This change in approach, which primarily occurred in 1860’s, affected the standing and perception of an academy once highly respected in the field of mathematics. In the present work, I examine both the curricula at the Academy and the crucial role of the Academy’s mathematics instructors in the Dutch Mathematical Society and the Royal Academy of Sciences. Importantly, these two institutions managed to successfully adapt to the changing character of mathematical sciences that occurred around 185 Mathematicians at the Royal Military Academy, however, appeared to cling to an outdated view of mathematics. Failing to update their approach ultimately caused the Academy to lose its once prominent place in the Dutch mathematical community. (shrink)

La théorie des catégories vaut tant par ses applications mathématiques que par les débats philosophiques qu’elle suscite. Elle sert à exprimer en topologie algébrique, à déduire en algèbre homologique et, en tant qu’alternative à la théorie des ensembles, à construire des objets en géométrie algébrique dans la conception de Grothendieck. La théorie des catégories est une discipline fondamentale en le sens de Christian Thiel, car elle traite d’opérations typiques de la mathématique de structures. Cette thèse est défendue à l’aide (...) d’une interprétation particulière du pragmatisme peircéen d’après laquelle la justification de la connaissance mathématique ne se fait pas par la réduction à des objets de base mais plutôt, à chaque niveau, par rapport au sens commun technique (les théories de niveau ultérieur ont pour objets les théories des objets originaux). (shrink)