Les concepts de paradigme et de thématisation, par lesquels Jean Cavaillès décrit dans l’ouvrage posthume Sur la Logique et la théorie de la science la dynamique de l’activité mathématique, trouvent dans la théorie des catégories à la fois une illustration et une formalisation, et dans la dialectique hégélienne un précédent. Dans un premier temps, nous examinerons cette hypothèse, non sans définir le concept de thématisation et les quelques notions élémentaires de théorie des catégories qui nous serviront par la suite. (...) Ensuite, en supposant hégélienne la notion de « dialectique » employée par Cavaillès, nous vérifierons si le concept de « thématisation » peut prétendre décrire le processus dialectique de la logique hégélienne, interprétation dont nous trouverons l’esquisse chez William Lawvere. Enfin, nous mettrons à l’épreuve cette interprétation en analysant la dialectique hégélienne de l’être et du néant dans la Science de la logique et les Leçons sur l’histoire de la philosophie. Nous verrons ainsi comment la dialectique hégélienne peut tout à la fois décrire la pratique mathématique et s’y voir représenter. (shrink)

We argue that the diagram is the equivalent of the Kantian schema, i.e. the translation into time and space of a meaning, and therefore of a concept, which would otherwise be empty. Understood as a schematic structure materialized in a support, the diagram is the explicitation of the meaning of the concept understood as a guide to action. We show why the class of judgements made by diagrammatic intuition is equivalent to that of the "steps" - the expression is Peirce's (...) – used to produce a theorem. Such an analysis allows us to argue in favour of the thesis that the schematism at work in the organic production of form is fundamentally diagrammatic in nature, which is why we speak of a diagrammatic schematism of morphogenesis. (shrink)

Dans cet article, je considère la pratique et la conception de la ri­gueur chez Richard Dedekind qui se dégagent de l’étude d’une sélection de ses travaux les plus importants. Une analyse des mentions multiples de réquisits de rigueur dans les textes de Dedekind amène à constater qu’il lie très étroi­tement la rigueur à la généralité. La première partie de l’article donne à voir les liens serrés tissés par Dedekind entre généralité et rigueur, dans sa théorie des fonctions algébriques co-écrite (...) avec H. Weber, ainsi que dans ses travaux fondationnels et dans ses travaux de théorie des nombres. Dans la seconde partie, j’examine les critères de rigueur qui apparaissent dans la pratique ma­thématique de Dedekind. Je discute l’idéal logique de rigueur dans l’essai de Dedekind sur les entiers naturels, étudié par M. Detlefsen sous l’appellation « Dedekind’s principle » ; puis je m’intéresse à la stratégie de Dedekind pour arithmétiser les mathématiques afin de mettre en évidence qu’il ne s’agit pas d’une approche guidée par un principe purement logique. Ainsi, l’idéal logique de rigueur apparaît comme intimement lié à la pratique d’une autre norme épistémique : la généralité, en lien avec la quête, par Dedekind, de définitions et preuves générales. Dans la dernière partie, j’analyse la demande de généra­lité et la pluralité de conceptions de la généralité que recouvre cette demande, et termine en mettant en avant la relation des définitions aux preuves et de quelle manière une définition générale se pose en condition de rigueur dans les mathématiques dedekindiennes. (shrink)

The stability of low student math scores has been a concern of education systems around the world for many years. While teaching practices are pointed out as a determining factor in student engagement and the quality of student learning, they are only the tip of the iceberg. Much work has shown that these practices are strongly colored by epistemological beliefs as well as by beliefs related to the teaching and learning of the school discipline under investigation. On this subject, if (...) some research reports a peremptory influence of beliefs on teaching practices, others present more moderate results by underlining, for example, the permeability of beliefs in pre-service training. Based on the results of a quantitative study that identified three belief profiles (pro-traditional, anti-traditionnal, flexible) among 190 future secondary school mathematics teachers in their final year of training, this contribution aims to shed qualitative light on the articulation between beliefs and teaching practices of eleven of them. The analysis of the semi-directive interviews highlights the reconcilable nature of transmissive and constructivist conceptions of teaching-learning. Moreover, the presence of similar pedagogical practices, supported in training, within profiles with contrasting beliefs argues in favor of a belief-practice non-linearity. (shrink)

La géométrie souterraine est une science mathématique pratique, qui se développe dans les exploitations minières et dont la diffusion est considérablement modifiée au cours du xviiie siècle. Ce phénomène est lié à l’institutionnalisation graduelle de la discipline, de l’établissement d’un système de compagnonnage à la création d’académies des mines. Progressivement, les pratiques vont faire appel à de nouvelles méthodes et intégrer une solide formation en mathématiques théoriques. La circulation et l’enseignement des connaissances sont dans un premier temps basés (...) sur un système de manuscrits qui sera étudié en détail. L’exemple du Markscheider August Beyer (1677-1753) illustre ce processus collectif de constitution et de transmission de connaissances, dont la diffusion est cependant contrôlée. Nous analysons dans un second temps l’évolution des vecteurs de circulation et son influence sur la discipline, en nous appuyant sur la biographie de deux mathématiciens saxons, J.A. Scheidhauer (1718-1784) et son discipline J.F. Lempe (1757-1801). Leurs parcours croisés symbolisent la transformation de la discipline. Le passage à l’imprimé, la publication d’articles dans des revues spécialisées et la création de chaires académiques font de la géométrie souterraine une science reconnue qui reste cependant en dehors du corpus de connaissances et des débats universitaires. (shrink)

Henri Poincaré était réputé être un mathématicien hostile à la rigueur, aussi bien dans sa pratique mathématique que dans ses réflexions philosophiques. Or, des éléments indiquent que Poincaré se basait implicitement sur une conception personnelle de la rigueur mathématique, et qui correspondrait à sa pratique des mathématiques. Nous proposons donc de caractériser ce que serait cette conception. Tout d’abord, nous observons donc son rap­port à la rigueur dans ses travaux en topologie, à partir d’exemples tirés du (...) mémoire Analysis Situs de 1895 [Poincaré 1895]. Ensuite, nous étudions pour quelles raisons Poincaré revendique son opposition à certaines normes de ri­gueur. Enfin, nous développons une conception « poincaréenne » de la rigueur mathématique. (shrink)

La présente étude questionne l’objectivité des mathématiques à travers l’analyse de la pratique mathématique, dans une modalité didactique. À travers des dialogues en classe (dans l’esprit de Lakatos), nous examinons la thèse, inspirée des travaux de Granger, que le développement de mathématiques formelles selon la méthode abstraite structuraliste ne se réduit pas à un langage mais engage un « contenu formel » qui se déploie dans une intuition symbolique. La didactique ou épistémologie expérimentale contribue ainsi à la philosophie (...) par un commentaire d’expériences et l’interprétation de significations, dans des regards croisés. (shrink)

En portant l’attention sur la ville de Troyes, petite cité manufacturière et commerçante du département de l’Aube, entre 1820 et 1850, cet article examine l’offre publique d’enseignement mathématique à l’échelle de la ville afin de mettre en lumière d’éventuelles circulations mathématiques entre les divers types d’institutions post-élémentaires – primaire, secondaire, technique – qui la composent. Il montre ainsi l’existence d’interrelations entre ces filières d’enseignement dont les modalités et les normes d’enseignement sont a priori distinctes, compte tenu de la spécificité (...) de leurs publics et de leurs finalités différenciées, et dont il est généralement admis qu’elles n’ont guère de rapports entre elles du fait des cloisonnements institutionnels qui prévalent à cette époque. Les circulations mathématiques observées sont d’abord des circulations d’enseignants d’une institution à l’autre, liées à la pluriactivité enseignante de nombre d’entre eux. Avec les individus, ce sont aussi des savoirs, des pratiques, des habitudes de travail qui franchissent les frontières institutionnelles et se confrontent éventuellement à d’autres systèmes de normes. (shrink)

L'étude des mathématiques de la préhistoire ne peut être fondée uniquement sur les documents archéologiques bruts, sous peine de stérilité ; elle a tout intérêt à les mettre en situation grâce au comparatisme ethnographique, selon lequel les sociétés primitives actuelles ou récemment disparues nous renseignent sur nos ancêtres de la préhistoire. D'abord utilisée spontanément par quelques historiens des mathématiques, cette méthode est de nos jours rejetée en principe par le courant récent des ethnomathématiciens. Il s'agit de montrer par quelques exemples (...) que la méthode est pourtant féconde, d'une part parce qu'elle ruine les constructions fantastiques dont raffolent certains mathématiciens, et d'autre part parce qu'elle ouvre un vaste champ de recherches pratiquement inexploré. (shrink)

RésuméVivre, agir, c'est participer à des répétitions qui laissent en nous une marque et finissent par nous faire acquérir une pratique. La réflexion vient ensuite, utilise ces marques, en forme des images qu'elle peut évoquer à volonté, et qu'elle structure en représentations: langage intérieur, puis langage de communication. Une « intuition » est l'affleurement conscient d'une marque laissée par la pratique, et son insertion quasi‐instantanée dans le système des représentations internes. Les progrès alternés dans la pratique, dans (...) l'association des images, dans le langage, dans l'action se suscitent les uns les autres, au cours d'une évolution conditionnée par nos structures physiologiques .La pratique sur laquelle s'exerce ainsi la réflexion peut ětre la pratique měme de la réflexion. A chaque pratique particulière s'associe une technique: à l'origine empirique, puis, par réflexions successives, rationnelle, mathématique, formelle .Mais toute mathématique suppose un mathématicien, tout langage formalisé un méta‐langage, et la connaissance ne se laisse jamais enfermer dans une technique ultime: on retrouve les trois horizons de l'idonéisme. Le développement intellectuel qui va d'un niveau au niveau supérieur est à rapprocher du développement de l'embryon; l'ontogenèse répète la Phylogenèse; on ne peut atteindre un niveau de connaissances qu'en passant par les niveaux intermédiaires atteints successivement par nos prédécesseurs; il n'existe pas de raccourci, et la connaissance future ne peut ětre prévue par les moyens de la connaissance actuelle.SummaryTo live and to act is to share in repetitions which impress marks upon us and eventually makes us acquire a practice. Reflection comes later on, using those marks, shaping them into images that it can conjure up at will, and structuring them into representations: first inner language, then communication language. An « intuition » is the conscious outcrop of a mark left by practice and its quasi‐instantaneous insertion into the system of inner representations. Alternating progress in practice, in image‐ association, in language and in action give rise to one another in the course of an evolution conditionned by our physiological structure .The practice on which reflection exerts itself can be the very practice of reflection. To each particular practice is associated a technique, originally empirical, then, through a succession of reflections, rational, mathematical, formal .But every mathematics supposes a mathematician, every formalized language a metalanguage, and knowledge can never be shut into an ultimate technique: one is once more confronted with the three horizons of idoneism. Intellectual development, going from a certain level to an upper level, is to be compared with the development of an embryo; ontogenesis repeats phylogenesis; one can only reach a certain level of knowledge by going through intermediate levels successively reached to by our predecessors; there is no short cut, and future knowledge cannot be foreseen through the ways of present knowledge. (shrink)

Wittgenstein appartient incontestablement à la catégorie des philosophes pour lesquels la tâche de la philosophie est plutôt de comprendre le monde que de le transformer. Comme il le dit et le répète, la philosophie laisse en principe toutes choses dans l'état où elle les trouve. Il n'y a probablement pas de domaine où cette théorie semble plus directement contredite par sa pratique que la philosophie des mathématiques. Comment peut-il critiquer aussi radicalement le platonisme mathématique et en même temps (...) refuser d'accepter les restrictions que le constructivisme tente d'introduire dans les mathématiques, se rapprocher sur certains points autant de l'intuitionnisme et récuser néanmoins explicitement le programme réformiste que Brouwer voudrait imposer? L'explication est probablement à chercher dans l'idée de l'autonomie de la grammaire et de la souveraineté de la pratique, dont les règles n'ont pas besoin du genre de justification que les partisans de l'orthodoxie croient détenir et dont les révisionnistes invoquent l'absence pour exiger des changements plus ou moins radicaux. C'est avant tout l'antijustificationnisme conséquent de Wittgenstein qui lui interdit d'envisager un changement de logique ou un bouleversement de nos pratiques mathématiques motivés par des considérations philosophiques. (shrink)

L’étude des processus de production des mathématiques est indissociable de l’analyse des mécanismes de circulation, ne serait-ce qu’un résultat mathématique n’a aucun effet dans la discipline s’il n’est pas relayé, discuté et accepté par diverses communautés. Par l’expression « circulation mathématique », nous entendons circulation de questions, de problèmes, de méthodes, d’explications, d’enseignements, de pratiques, de points de vue, de théorèmes mathématiques ou de métadiscours, qui s’opèr...

Summary The practice of the disputatio in the medieval universities gave rise to a particular literary genre, the questio. This genre is caracterised by the production of arguments in favour of or against the thesis submitted for questio, before the author develops his own answer. This genre is common to philosophy and theology. But to present a mathematical problem in the form of the questio may seem paradoxical since it leads to the production of false proofs. We shall examine three (...) texts of the 14th and 15th centuries in which is raised the question of the incommensurability of the diagonal and the side of a square: Nicole Oresme's Questions on the geometry of Euclid, an anonymous question from a 15th century manuscript and Blasius of Parma's Questions on Thomas Bradwardine's treatise on ratios. We shall establish a relationship between these three texts. We will show how the mathematical content is combined with the literary genre of the questio. We shall particularly concentrate on the false proofs and consider their status. Finally, we shall ask ourselves how these texts are linked with a possible didactic purpose. Résumé La pratique de la «dispute» dans les universités médiévales a donné lieu à un genre littéraire particulier, la Question. Ce genre est caractérisé par la production d'arguments pour ou contre la thèse soumise à questionnement, avant que l'auteur ne développe sa propre réponse. Ce genre est courant en philosophie et en théologie. Mais présenter un problème mathématique sous la forme d'une Question peut sembler paradoxal: cela conduit en effet à la production de démonstrations fausses. Nous examinerons trois textes des xiv e et xv e siècles dans lesquels est posée la question de l'incommensurabilité de la diagonale et du côté d'un même carré: Les questions sur la géométrie d'Euclide de Nicole Oresme, une question anonyme dont le manuscrit est daté du xv e siècle et les Questions sur le traité des rapports de Thomas Bradwardine rédigées par Blaise de Parme. Nous établirons une filiation entre ces trois textes. Nous montrerons comment s'articule le contenu mathématique avec le genre littéraire de la Question. Nous porterons une attention particulière aux démonstrations fausses sur le statut desquelles nous nous interrogerons. Et nous nous demanderons quel lien entretiennent ces textes avec un éventuel enseignement. (shrink)

Résumé Cet article présente l’analyse d’une expérience de construction de savoirs mathématiques en rapports avec les machines, dans les années 1950 et 1960, à une époque où le calcul analogique cohabitait avec le calcul digital (c’est-à-dire le futur « ordinateur », terme introduit dans la langue française pour désigner principalement les « digital computers »). Les mathématiques en jeu relèvent des théories des systèmes dynamiques, c’est-à-dire des outils mathématiques construits pour comprendre la dynamique de différents types de systèmes, qu’ils soient (...) mathématiques, physiques, biologiques, mécaniques, etc. L’objet du présent article est à la fois un groupe de chercheurs, leurs pratiques de « mathématiques pour l’ingénieur », leurs efforts pour construire des calculateurs analogiques (mécanique ou électronique) pour étudier la dynamique, le programme baptisé « Dynamique théorique » qu’ils se sont fixés, et l’épistémologie des mathématiques sous-tendant leur pratique. (shrink)

Les critiques que Berkeley adresse à la géométrie, à la dioptrique, comme à l'analyse des modernes sont radicales et ont de quoi surprendre. Elles ne peuvent prendre sens qu'en référence au Principe, « exister, c'est percevoir ou être perçu »; ce qui implique que la mathématique soit et demeure sensible et pratique. Ces deux attributs renvoient démontrablement à l'absolue priorité de l'attouchement pour l'être pensant et mathématicien. L'expression la plus achevée de l' identité des êtres mathématiques implique le (...) développement d'une classification des signes fondateurs des langues fondamentales. The critics that Berkeley adresses to Geometry, Dioptries and the Modems' Analysis are most radical and surprising. We cannot understand them regardless the Principle, « to exist is, either to be perceived, either to perceive »; it implies that mathematics have to be sensible and practical. We demonstrate that both attributes command the absolute priority of the sense of touch in the mathematician's mind. To express perfectly what is the identity of mathematical beings, we need a theory about the different sorts of signs and languages. (shrink)

L’histoire du texte des Régles pour la Direction de l’Esprit (Regulae) de Descartes est un peu singulière: non publié du vivant de Descartes, il n’a paru qu’en 1701, dans les Opera Posthuma d’Amsterdam. De façon plus significative, et contrairement aux autres traités cartésiens perdus, ce texte secret n’est jamais explicitement evoqué par Descartes, fût-ce au détour d’une correspondance. Par leur étroite dépendance vis à vis des mathématiques, les Regulae sont cependant un texte majeur, constitutives de la pensée de leur auteur (...) dans ses années de jeunesse (1619-1628), et par là de toute la philosophie moderne. Descartes avait jugé le texte suffisamment important pour I’emmener à Stockholm, où il a été découvert apres sa mort, dans ses papiers.Entre les mathématiques et les Regulae, ce texte “éclatant et obscur” (J.P. Weber), il est ces trois types principaux de rapports croisés que nous tâcherons d’analyser: historiquement d’abord, quelles furent la formation et I’expérience mathématique du jeune Descartes, qui constituerent, à notre sens, I’armature conceptuelle du texte. Quelles sont ensuite les voies par lesquelles, dans les Regulae, Descartes a putransmuer cette expérience mathématique premiere à la fois en une pratique, une méthode, une théorie de la connaissance, enfin en une épistémologie assez radicalement neuve. Enfin, et prenant Descartes au sérieux nous examinerons à I’occasion cette question: quel est le sort réservé, de nos jours, à cette épistémologie cartésienne, en particulier confrontée aux mathématiques contemporaines? (shrink)

Je propose d’analyser une pratique de la recherche en mathématiques constructives, celle qui consiste à reformuler constructivement les théories physiques. Je discute plus précisément trois aspects de cette pratique. Je montre d’abord que celle-ci a la particularité d’être motivée par des considérations philosophiques et comment la physique est utilisée pour arbitrer un débat de philosophie des mathématiques entre constructivisme et classicisme. Ensuite, j’identifie la méthodologie de la recherche en mathématiques que cette pratique implique et montre qu’il s’agit, (...) selon une terminologie empruntée à Poincaré, d’une méthodologie de « logiciens ». Enfin, je montre que dans cette pratique, les théories physiques ont un rôle heuristique sur le développement des mathématiques constructives. Elles permettent avec succès de stimuler la recherche d’énoncés constructifs et d’orienter la recherche en mathématiques constructives vers de nouveaux domaines. (shrink)

Les articles de ce recueil discutent les principes de la pensee mathematique qui ont fait le partage entre les trois fameuses options philosophiques: logicisme, formalisme et intuitionnisme. Leur auteur, Paul Bernays, fut un des plus proches collaborateurs de David Hilbert, qui a si profondement marque de son empreinte les mathematiques du XXe siecle et la philosophie construite a leur sujet. Defenseur de l'infini, de la methode axiomatique, des structures generales, des raisonnements abstraits, de la formalisation logique, Hilbert a investi une (...) grande energie pour ancrer ces audacieuses conquetes sur le terrain balise et controlable du fini, de l'intuitif, du concret, du constructible. Les essais de Bernays sont un precieux guide pour mieux s'orienter dans la pensee logique et philosophique de Hilbert et se debarasser une bonne fois des prejuges hatifs qui jalonnent les opinions ressassees sur le formalisme, le finitisme, le platonisme, etc. Mais ces essais nous decouvrent aussi un penseur libre, parlant de sa propre voix. Sensible a la pluralite des approches possibles, assumant le risque de se rectifier sans cesse, mesure dans sa visee d'une certitude pratique plutot que d'une verite absolue, Bernays defend l'idees que les mathematiques ne sont pas un reservoir de connaissance, mais une activite de l'esprit reagissant a des situations. (shrink)

Résumé Cet article propose de revenir sur le programme d’histoire concrète de l’abstraction proposé par Jean-Claude Perrot dans les années 1990, pour montrer quels en sont les apports pour l’histoire des mathématiques. En mettant l’accent sur les dynamiques sociales, culturelles et matérielles dans lesquelles s’élaborent les connaissances, ce programme fournit en effet des outils pour analyser non seulement les modalités de circulation des mathématiques, mais surtout les effets concrets des pratiques symboliques, souvent laissées de côtés dans les travaux historiens sur (...) les sciences. Plus encore, le programme d’histoire concrète de l’abstraction constitue en objet d’histoire le processus qui permet aux traces matérielles des activités savantes passées et aux modalités de raisonnements qu’elles véhiculent de parvenir jusqu’à nous tout en transcendant leurs conditions initiales de production. Il offre ainsi un cadre analytique pour étudier le rapport des mathématiques au temps historique. (shrink)

Cet article examine la thèse de Lautman selon laquelle la réalité des mathématiques doit être approchée par la « réalisation des idées dialectiques ». Pour ce faire, nous reprenons deux exemples que Lautman a lui-même traités. La question est de savoir si on peut ou non mieux décrire les idées dialectiques comme mathématiques, particulièrement maintenant que les moyens mathématiques d’approcher ces idées au niveau de généralisation appropriée existent. Ainsi, la théorie des catégories, inconnue de Lautman, peut donner une description très (...) approfondie de l’idée de dualité. Je soumets de plus que les instances, données par Lautman, de la réalisation des idées dialectiques en dehors des mathématiques et de la physique mathématique sont assez maigres, ce qui suggère fortement que les idées qu’il a décrites si admirablement sont immanentes à la pratique des mathématiques, au lieu d’appartenir à « une réalité idéale, supérieure aux mathématiques ».This paper examines Lautman’s claim that the reality of mathematics is to be addressed through the “realisation of dialectical ideas”. This is done in the context of two examples treated by Lautman himself. The question is raised as to whether we might better describe dialectical ideas as mathematical ones, especially now that we have mathematical means to approach these ideas at the right level of generality. For example, category theory, unknown to Lautman, can describe the idea of duality very thoroughly. It is argued that the instances given by Lautman of the realisation of dialectical ideas outside of mathematics and mathematical physics are rather slight, leading us to conclude that the ideas he so brilliantly describes are immanent to mathematical practice, rather than belonging to “an ideal reality, superior to mathematics”. (shrink)

Il est parfois fécond, en philosophie des sciences, de chercher si les concepts techniques relèvent d’une nécessité de structure plutôt que des seuls hasards de l’invention. En essayant de fonder de la sorte les concepts fondamentaux des systèmes d’exploitation que sont les notions de processus et de fichier, on s’aperçoit qu’ils sont, depuis Unix, les pendants des notions ontologiques abstraites d’acte et d’objet, et qu’ils satisfont toutes les propriétés que la théorie des catégories peut en attendre. La programmation peut dès (...) lors être vue comme une thématisation, c’est-à-dire la transformation de l’acte qu’est le processus en l’objet qu’est le fichier ; mais on découvre également que l’exécution de programmes joue le rôle d’une « antithématisation », transformation d’objets en actes dont l’histoire récente des mathématiques fournit également des exemples. Par ses concepts comme par ses procédés, la pratique informatique est pour la philosophie un objet aussi pur que les mathématiques. (shrink)

L’histoire récente des mathématiques non standard est mise en pers­pective de manière à faire apparaître une modification dans le langage utilisé et dans la pratique de la référentiation des énoncés qui pourrait conduire, si on le souhaitait à rapprocher la langue mathématique d’une langue de communi­cation. La profusion des constructions ensemblistes peut être limitée grâce à un vocabulaire un peu plus riche permettant de « dire l’indétermination », l’indiscernabilité, l’inaccessibilité… quand cela est nécessaire et d’explorer plus finement par (...) le langage mathématique, par une sorte de traduction du langage courant, des concepts sur lesquels le langage des mathématiques convention­nelles est presque muet : concepts de point, de grandeur infinie ou infinitésimale etc…. (shrink)

Cet article aborde la question générale du développement d'une histoire sociale des mathématiques et de la logique, à partir d'un cas historique. Il vise à rendre compte de certains traits de l'histoire récente de la logique floue. À cette fin, il met en oeuvre une sociologie des pratiques de démonstration et une approche fondée sur l'analyse matérielle du travail logique, notamment de l'activité d'écriture et de lecture. Il esquisse la construction d'une histoire sociale des formes de démonstration.

Au xviie siècle, la question de la durée de la vie fait l’objet d’un nouveau traitement en termes d’arithmétique politique. Cette mathématisation, avec la construction de la notion de « vie moyenne », permet une intégration de l’art de prolonger la vie aux techniques de gouvernement. Élaborée dans le cadre des pratiques financières de rentes viagères, la notion émigre vers l’économie politique, où la vie n’est plus conçue comme support d’intérêts mais comme force productive. Le problème se pose alors en (...) termes de philosophie politique : le pouvoir peut-il se fonder sur des impératifs de maximisation de la vie moyenne pour contraindre ses sujets ? La question fut posée au sujet de l’inoculation de la petite vérole. Dans le débat qui déchira les Lumières françaises, c’est en réalité la question du fondement de ce que Michel Foucault appelait le biopouvoir qui est en jeu. (shrink)

Cet article cherche à montrer comment la pratique mathématique, particulièrement celle admettant des représentations visuelles, peut conduire à de nouveaux résultats mathématiques. L'argumentation est basée sur l'étude du cas d'un domaine des mathématiques relativement récent et prometteur: la théorie géométrique des groupes. L'article discute comment la représentation des groupes par les graphes de Cayley rendit possible la découverte de nouvelles propriétés géométriques de groupes.

RÉSUMÉ: Pasch est généralement considéré comme le premier à avoir proposé une axiomatisation de la géométrie. Mais ses Vorlesungen über neure Geometrie (1882) contiennent plusieurs éléments étrangers au paradigme hilbertien. Pasch soutient ainsi que la « géométrie élémentaire », dont il propose une axiomatisation complète, est une théorie empiriquement vraie. Les commentateurs considèrent généralement les différences entre la méthode de Pasch et celle qui deviendra standard après Hilbert comme autant de défauts affectant une pensée encore inaboutie. Notre but consiste au (...) contraire à reconstruire la cohérence et l’originalité de l’approche de Pasch. Nous donnerons d’abord un aperçu du contexte historique dans lequel les Vorlesungen s’inscrivent, pour tenter ensuite de réconcilier l’effort d’axiomatisation et l’empirisme de Pasch. Nous insisterons notamment sur les remarquables procédures logiques que Pasch met sur pied afin d’adapter sa pratique mathématique aux contraintes dictées par sa réflexion philosophique.ABSTRACT: Pasch is usually credited with having presented the first axiomatization of a geometrical theory, but the Vorlesungen über neuere Geometrie (1882) contains many features which do not fit the Hilbertian paradigm. Thus Pasch, while axiomatizing his “elementary geometry,” claims that it is an empirically true theory. Scholars usually regard the discrepancies between Pasch and the post-Hilbertian standard method as mere inconsistencies of Pasch’s theory. On the contrary, this article aims at reconstructing the coherence and originality of the Vorlesungen. We will first display the historical background of this work and then try to reconcile Pasch’s logical axiomatic claim with his empiricist stance. More importantly, we will insist on the remarkable logical procedures worked out by Pasch in order to adapt his mathematical development to the strictures of his broad philosophical position. (shrink)

Nous examinons les conditions de vérité pour des attributions de savoir dans le cas des connaissances mathématiques. La disposition d’une démonstration formalisable semble être un critère naturel :(*) X sait que p est vrai si et seulement si X en principe dispose d’une démonstration formalisable pour p.La formalisabilité pourtant ne joue pas un grand rôle dans la pratique mathématique effective. Nous présentons des résultats d’une recherche empirique qui indiquent que les mathématiciens n’employent pas certaines spécifications de (*) quand (...) ils attribuent du savoir. De plus, nous montrons que le concept de savoir mathématique qui est à la base de l’emploi effectif du mot « savoir » de la pratique mathématique est tout à fait compatible avec certaines intuitions philosophiques mais apparaît comme différent des concepts philosophiques formant la base de (*). (shrink)

Dans son « Découverte d'un nouveau principe de mécanique » (1750) Euler a donné, pour la première fois, une preuve du théorème qu'on appelle aujourd'hui le Théorème d'Euler. Dans cet article je vais me concentrer sur la preuve originale d'Euler, et je vais montrer comment la pratique mathématique d Euler peut éclairer le débat philosophique sur la notion de preuves explicatives en mathématiques. En particulier, je montrerai comment l'un des modèles d'explication mathématique les plus connus, celui proposé (...) par Mark Steiner dans son article « Mathematical explanation » (1978), n'est pas en mesure de rendre compte du caractère explicatif de la preuve donnée par Euler. Cela contredit l'intuition originale du mathématicien Euler, qui attribuait à sa preuve un caractère explicatif spécifique. (shrink)

Prouver des théorèmes est une pratique mathématique qui semble clairement améliorer notre compréhension mathématique. Ainsi, prouver et reprouver des théorèmes en mathématiques, vise à apporter une meilleure compréhension. Cependant, comme il est bien connu, les preuves mathématiques totalement formalisées sont habituellement inintelligibles et, à ce titre, ne contribuent pas à notre compréhension mathématique. Comment, alors, comprendre la relation entre prouver des théorèmes et améliorer notre compréhension mathématique. J'avance ici que nous avons d'abord besoin d'une notion (...) différente de preuve (formelle), qui ne tienne pas la forme pour opposée au contenu. La pratique de la preuve algébrique au xviiie siècle fournit un exemple de preuve à la fois pleinement rigoureuse et porteuse de contenu, et dans ce cas, il est possible de voir comment une preuve mathématique apporte une compréhension mathématique. Il s'agira alors de mobiliser les enseignements de cet exemple pour étudier le type de raisonnement déductif à partir de concepts, qui a constitué la norme dans la pratique mathématique depuis le xixe siècle. (shrink)

Dans cet article je propose d'exprimer et de défendre une conception des pratiques et du domaine de discours mathématiques qui soit sensible, d'une part, au pluralisme des relations entre pratiques inférentielles et intérêts, et d'autre part, à la structure objective et déterminante des concepts mathématiques. J'ébauche tout d'abord une caractérisation générale des pratiques, pour ensuite préciser certains phénomènes propres aux pratiques mathématiques. Suit un recensement des idées qui se dégagent des arguments pluralistes, et de celles qui sont à retenir. Mais (...) je défends par la suite la nécessité d'une forme de réalisme mathématique, qui toutefois ne peut être le réalisme d'objets que prônent les partisans de l'argument d'indispensabilité. Je défends plutôt un réalisme des concepts, soutenu par ce que je baptise l'« argument de la contrainte ». (shrink)

Cet article discute le rôle des représentations dans les preuves mathématiques. Il est suggéré ici que les représentations nous permettent de diviser une preuve en plusieurs parties plus faciles à traiter. Nous illustrerons cela avec un exemple de la pratique mathématique actuelle qui consiste à trouver la valeur d'une expression en la divisant graduellement en parties plus simples. Par ailleurs, j'explique le rôle que jouent les icônes et les indices dans cette procédure. Les icônes assurent la similarité entre (...) l'expression et les résultats obtenus. En revanche, les indices agissent comme des indicateurs qui permettent de réinsérer les résultats aux emplacements appropriés. (shrink)

Cet article met en évidence certaines fonctions de la correspondance scientifique dans la deuxième moitié du XVIe siècle. Un professeur de mathématiques à Rome, Antonio Maria Pazzi, envoie un mésolabe à Barbara, humaniste érudit de Venise, accompagné d’une lettre. Barbara l’inclut dans la version latine de son commentaire à Vitruve. L’analyse du contexte de cette publication montre que tous deux font coïncider leurs intentions personnelles et l’idéal du« bien commun», en contribuant à la diffusion de connaissances et de pratiques mathématiques.

On réduit habituellement les idées de Kronecker sur les fondements des mathématiques à quelque boutade ou à quelques principes rétrogrades. Ces idées constituent pourtant une doctrine originale et cohérente, justifiée par des convictions épistémologiques. Cette doctrine apparaît dans un article intitulé ‘Sur le concept de nombre’, paru en 1887 dans le Journal de Crelle, et surtout dans le dernier cours professé par Kronecker à Berlin au semestre d’été 1891. Le but de cet article est d’en préciser les principes et les (...) éléments en la comparant aux autres entreprises de fondement, afin d’en souligner l’originalité, et de montrer comment elle a déterminé la pratique mathématique de Kronecker. (shrink)

Deux courants de pensée jouent un rôle important dans la philosophie des mathématiques contemporaine. Le structuralisme, s’il n’est pas une idée nouvelle, continue de se déployer en des directions multiples – de la pratique mathématique jusqu’à ses dimensions ontologiques –, et de faire l’objet d’études, par exemple en direction des modalités de sa genèse. L’épistémologie historique, dont la conception classique a été largement enrichie récemment, est également au cœur de débats qui renouvellent la philosophie des sciences bien au-delà (...) de ses problématiques classiques. Son usage en mathématiques requiert toutefois des analyses spécifiques du fait de leurs idiosyncrasies, des notions comme celle de rigueur, d’expérience ou d’ontologie y ayant un sens et une charge historique différentes de celles qu’elles ont dans les sciences de la nature. Le propos de cet article sera de mettre en situation certains de ces débats en se concentrant sur un des phénomènes les plus significatifs du xxe siècle mathématique: le structuralisme de Bourbaki. Il s’intéressera en particulier aux potentialités de l’épistémologie historique, en cherchant à montrer que ses outils permettent de mieux comprendre certains enjeux du structuralisme. L’accent sera mis en particulier sur deux notions clés dans les travaux de Rheinberger, Daston et Hacking, celles d’objets et de concepts épistémiques. (shrink)

Leibniz introduit l’expression « ⁰⁄₀ » en 1672 dans un écrit mathématique sur les séries numériques pour exprimer la somme des unités. Il s’agit très probablement d’une des premières apparitions de cette expression dans l’histoire des mathématiques. Leibniz cependant l’abandonne aussitôt. Elle apparaît à nouveau dans le contexte du calcul différentiel au moment où celui-ci fait débat à l’Académie royale des sciences. Une des questions les plus saillantes soulevées par l’introduction du nouveau calcul est de savoir si la notion (...) de différentielle doit être distinguée, dans la pratique, du zéro absolu. Cet article examine les efforts effectués, dans le cadre d’une nouvelle pratique mathématique, pour donner un sens à l’expression « ⁰⁄₀ ». On verra comment cette expression cesse de représenter une impossibilité algébrique, à condition de ne plus penser « 0 » comme un zéro absolu. Désormais, elle est le signe de l’existence d’une singularité d’une courbe. L’analyse de cette construction de sens met en évidence combien la représentation diagrammatique des caractères impliqués dans le calcul était importante pour les premiers pratiquants du calcul différentiel. (shrink)

The classification of algebraic surfaces by the Italian School of algebraic geometry is universally recognized as a breakthrough in 20th century mathematics. The methods by which it was achieved do not, however, meet the modern standard of rigor and therefore appear dubious from a contemporary viewpoint. In this article, we offer a glimpse into the mathematical practice of the three leading exponents of the Italian School of algebraic geometry: Castelnuovo, Enriques, and Severi. We then bring into focus their distinctive conception (...) of rigor and intuition. Unlike what is often assumed today, from their perspective, rigor is neither opposed to intuition nor understood as a unitary phenomenon –Enriques distinguishes between _ small-scale rigor _ and _ large-scale rigor _ and Severi between _ formal rigor _ and _ substantial rigor _. Finally, we turn to the notion of mathematical objectivity. We draw from our case study in order to advance a multi-dimensional analysis of objectivity. Specifically, we s... (shrink)

L’article met en lumière la continuité intellectuelle de l’Académie à propos d’une question précise, les rapports entre philosophie et géométrie. On soutient d’abord que, dans les livres VI-VII de la République, Platon ne cherche pas à réformer les pratiques des géomètres mais identifie les contraintes incontournables de leurs raisonnements (constructions, hypothèses), qui constituent et limitent leur objectivité. On montre ensuite que cette analyse constitue le cadre des réflexions académiciennes ultérieures sur la géométrie. Speusippe reprend et développe l’analyse platonicienne des constructions (...) géométriques, qui est appliquée (de Speusippe à Crantor) à la cosmologie et même à la doctrine des principes, afin d’expliquer comment elles saisissent leurs objets éternels depuis le devenir, de manière indirecte. Si la Nouvelle Académie d’Arcésilas et de Carnéade critique les mathématiques, on fait l’hypothèse qu’il s’agissait pour elle – dans le contexte des débats philosophiques hellénistiques sur les usages des mathématiques –, de rappeler les limites de leur objectivité contre toute idéalisation dogmatique de la méthode géométrique. (shrink)

La métaphysique de Berkeley présente une synthèse des méthodes analytique et phénoménologique et sa pensée peut être considérée à cet égard, comme le pont entre la philosophie contemporaine du continent et la philosophie anglo-saxonne. C'est pour cela que des penseurs comme Husserl, Wittgenstein, Wisdom, Ryle et d'autres sont mentionnés dans l'article. La métaphysique procure à Berkeley Ja condition transcendentale de telles méthodes. L'analyse du langage élimine les sentences de la métaphysique spéculative. Quand on dit par exemple qu'un dé est dur, (...) carré, etc., cela n'implique pas que ces qualités sont des propriétés d'une substance inconnue, mais elles ne sont que l'explication de ce qu'on entend par l'existence du dé. Berkeley ne veut pas supprimer l'existence, mais rendre le terme explicite. Son analyse découvre que le mot existence est employé lorsqu'on aperçoit quelque chose. L'idée de l'existence d'un paysage non perçu est une image où l'homme se supprime comme observateur. Berkeley ne s'efforce pas de suppléer les intervalles , en supposant Dieu comme observateur permanent. Il part plutôt du langage quotidien où il va de soi que les choses continuent d'exister, même sans être perçues. Cette réalité ne dépend apparemment pas de l'homme individuel et elle renvoie donc vers Dieu, l'existence n'étant rien en soi-même, autrement le mot serait dénué de sens. Les « idées » sont chez Berkeley les choses elles-mêmes et non leur copie dans l'esprit comme chez Locke. Le mot idée indique que leur existence est conçue comme processus de vérification. Berkeley analyse d'une même manière « opérationnelle » les conceptions mathématiques. Le triangle n'est qu'une convention par définition à l'égard de l'utilisation de ce symbole. Les lois de la nature sont une grammaire de la nature qui indique les régularités extérieures et non les forces occultes. Le point de départ de sa méthode que l'on peut appeler phénoménologique est la perception attentive de sa propre conscience. C'est là que les idées se manifestent comme les choses elles-mêmes dans leur présence corporelle. Husserl reconnaît ici son propre effort d'une constitution de la « mondanité » . Berkeley offre une phénoménologie de la perception dans laquelle le monde extérieur manifeste un rapport à la subjectivité. Le temps également trouve sa source dans son rapport à l'esprit. C'est ainsi que Berkeley combat l'objectivisme des sciences naturelles. L'esprit et ses « notions » ne sont comme principe actif, pas à comparer avec les choses .Berkeley, par opposition à la conception des facultés de l'âme, dit que la volonté, la haine, l'amour etc., sont des orientations de l'esprit qui se manifestent aux objets et aux situations. L'objectivité corporelle est un modèle de la subjectivité de l'esprit. métaphysique de Berkeley ne donne pas une compréhension des faits nouveaux, mais une nouvelle compréhension des faits ; elle ne crée pas un arrière-monde, mais elle dévoile l'horizon de sens de ce monde-ci. C'est pour cela qu'elle n'est pas réductrice. La matière n'est pas réduite à l'esprit, mais elle est plus riche que la conception objectiviste de la matière, n'existant que dans une cohésion de signification avec l'esprit. Le monde devient langage dont le sens est de renvoyer vers Dieu ; Dieu est l'auteur, non la cause première. Il est inconnaissable comme objet étant le sujet à partir duquel le dessein du langage et la grammaire de la nature deviennent lisibles. Ici, il ne s'agit plus d'un langage purement théorique mais pratique, qui dévoile le sens du monde en le rendant tendancieux. (shrink)

Cet ouvrage propose la définition d'un concept généralisé du style, considéré non plus seulement comme catégorie esthétique, mais comme applicable à tout travail humain. L'auteur applique ce concept de style à des exemples d'œuvres mathématiques, puis au cas plus familier des œuvres de langage, avant d'esquisser le projet d'une stylistique des sciences de l'homme, complémentaire d'une histoire des connaissances et d'une épistémologie des structures. Gilles-Gaston Granger, spécialiste d'épistémologie, est professeur honoraire au Collège de France. Chapitre I. Contenu, forme et (...) class='Hi'>pratique Chapitre II. Le style euclidien et la notion de grandeur Chapitre III. Style cartésien, style arguésien Chapitre IV. Naissance du style « vectoriel » Chapitre V. Le problème des significations Chapitre VI. Syntaxe et sémantique Chapitre VII. L'analyse stylistique fonde une esthétique du langage Chapitre VIII. L'image de l'action dans la construction de l'objet scientifique Chapitre IX. Les nouvelles« mathématiques sociales » Conclusion Index. (shrink)

On se propose de montrer d’abord l’effectivité du concept d’intentionnalité dans la revendication par l’Aufbau de la pratique husserlienne de la réduction, et de son programme de constitution, alors même que ce programme débouche chez Carnap sur une neutralisation terminale du sens métaphysique de la relation intentionnelle. On précise ensuite le rôle que joue le concept philosophique de constitution, dans la mise en œuvre des méthodes logiques. On suggère l’effectivité d’une constitution intentionnelle au sens husserlien, mais armée des méthodes (...) de la logique mathématique, sur trois séries d’indices, pris dans l’exercice même des méthodes logiques dans l’Aufbau. Mais on voit par là que cette référence de l’intentionnalité carnapienne à la distinction aristotélicienne entre l’objet et le vécu intentionnel de la sensation et de la pensée en neutralise la dimension ontologique liée chez Aristote au concept métaphysique d’energéia, tout autant qu’à l’analyse catégoriale de la relation ici drastiquement réduite à une unique «relation fondée». Ainsi se trouve en définitive neutralisé plutôt que constitué dans l’Aufbau le sens d’un legs aristotélicien en matière d’intentionnalité. (shrink)

RésuméLa démarche philosophique de l'idonéisme s'est d'abord exercée sur le terrain des mathématiques qu'elle à considérees dans leur intégrité. Sa méthodologie peut avoir une influence profonde sur l'enseignement des mathematiques. Le rendement de celui‐ci est peu satisfaisant au moment ou la connaissance et la pratique des mathematiques sont une nécessité.L'enseignement doit être une active dialectique de l'intuitif, de l'empirique et du rationnel. II fera appel à une sustentation concréte, organisera progressivement la deduction et veillera à l'acquisition des structures mentales. (...) Ces éléments devront se prêter appui en s'opposant, le modéle mathématique étant dégagé du modéle intuitif.La pédagogie sera revisée et tenue à jour par l'action conjuguée des mathématiciens, des usagers des mathématiques, des professeurs et des étudiants.La responsabilité de tous sera d'être à la hauteur de l'avenir. (shrink)

RésuméDans les traités d’algèbre arabes, le Livre II des Éléments d’Euclide devient rapidement une référence traditionnelle, notamment dans la justification du procédé de résolution des équations quadratiques. Cette référence s’écarte toutefois significativement de l’Euclide original. Dans cet article, j’examine les relectures des propositions du livre II effectuées par al-Karaǧī (xie siècle) dans deux de ses écrits algébriques. Inspiré par la variété des pratiques arithmétiques de son époque, al-Karaǧī applique à des nombres les propositions euclidiennes originairement conçues pour des objets géométriques, (...) pour ensuite les utiliser dans un cadre algébrique. Il parvient ainsi à combiner diverses stratégies argumentatives issues de différents domaines. La démarche d’al-Karaǧī sera au fondement du travail d’al-Zanǧānī (xiiie siècle). Ce dernier ne mentionne plus le nom d’Euclide et il conçoit une justification des équations quadratiques (la «cause» de l’équation) totalement interne à l’algèbre. Ces exemples témoignent de l’usage des Éléments comme une boîte à outils pour le développement de l’algèbre et ils mettent davantage en lumière une caractéristique typique des mathématiques médiévales, à savoir l’existence d’une pluralité intrinsèque au nom «Euclide». (shrink)

Sous l'Ancien Regime, les champs semantiques de la preuve sont aussi complexes et plastiques que ses usages. La notion circule et innerve des pratiques tres diverses, parfois de maniere inattendue. La plaidoirie ou le requisitoire reorganisent les faits, creant des fables qui s'eloignent quelquefois de la realite et qui tendent a transformer la verite en mensonge et le mensonge en verite. Ces ressorts sont aussi ceux de la fiction qui exploite toutes les ressources de la probation ou preuve et signe (...) viennent a se confondre. Dans d'autres domaines, pour assurer le passage de liaisons necessaires entre des elements divers qui conduisent a la certitude, a l'analyse morale qui s'appuie sur des relations probables pour etablir l'innocence ou la culpabilite, il faut s'etre approprie un art de la demonstration qui, ayant traverse la metaphysique et les mathematiques, parvient au droit. Ce passage-la marque le role historiquement grandissant de la probabilite dans la prise de decision et dans la conception de la verite. Le present volume interroge les lineaments semantiques et les usages de la notion de preuve, du XVIe au XVIIIe siecle, essentiellement en France et en Grande-Bretagne. Les etudes qui le composent suggerent que ces divers usages constituent l'un des aspects du long processus de division des savoirs. Jean-Pierre Schandeler est charge de recherche CNRS a l'IRCL. Ses travaux portent sur les rapports entre l'histoire et les sciences morales et politiques au XVIIIe siecle. Nathalie Vienne-Guerrin est professeur a l'universite Paul-Valery Montpellier 3, specialiste de Shakespeare. Elle dirige l'Institut de Recherche sur la Renaissance, l'age Classique et les Lumieres (UMR 5186 du CNRS). (shrink)

"Mathématicien et philosophe, Jean Cavaillès (1903-1944) a compris en toute clarté que la philosophie n'est ni maîtresse ni servante des mathématiques et des sciences, mais qu'elle peut être leur amie. Elle n'a pas à s'arroger la fonction magistrale de vérifier à leur place la solidité de leurs fondements ni à contrôler ou exploiter leurs résultats pour la plus grande gloire de Dieu ou de la Cause. Elle n'a pas non plus à s'asservir aux mathématiques ou aux sciences comme sources uniques (...) de vérité, justice ou justesse. Une philosophie amie des sciences entretient avec elles un dialogue à bénéfice mutuel : elle s'instruit auprès d'elles et peut, en retour, procurer aux mathématiciens et scientifiques une conscience plus claire de leur propre pratique, s'ouvrant avec eux à l'histoire de cette pratique. Observer la pensée scientifique, dans son travail, ses difficultés et ses succès, et l'aider à s'observer elle-même : tâche aussi libératrice que difficile qui vise l'impérissable idéal aristotélicien de la pensée de la pensée. Voilà la haute et rayonnante ambition de Cavaillès. C'est cet héritage que les cinq auteurs de ce livre ont voulu transmettre et commencer à faire fructifier. Et il fallait pour cela : libérer Cavaillès des interprétations unilatérales, souvent enjeux de pouvoir universitaire, telle celle qui en fait le héraut d'une "science sans cogito" ; retrouver la pluralité de ses inspirations philosophiques. Refusant aussi bien filiation que rupture définitive, il a une lecture critique-productive de Descartes, Leibniz, Kant, Hegel, Husserl, Brunschvicg... Spinoza, explicitement évoqué par lui à propos de son engagement dans la Résistance, est une de ses références possibles quand il traite de l'auto-développement des mathématiques ; respecter la diversité de ses centres d'intérêt mathématiques. Il s'intéresse, on le sait, à l'axiomatisation et à la formalisation de la théorie des ensembles, mais tout autant ou plus à son surgissement chez Dedekind et Cantor, à la construction des ensembles finis à partir des ensembles infinis, à l'hypothèse du continu, etc. mettre ses catégories emblématiques (paradigme et thématisation) à l'épreuve d'autres moments essentiels de l'histoire des mathématiques que celui de l'essor de la théorie des ensembles ; pratiquer un dialogue amical entre mathématiciens et philosophes dans des études d'"épistémographie" entrelaçant histoire fine et philosophie. Aux lecteurs de juger si l'héritage est entre de bonnes mains."--Page 4 of cover. (shrink)

1. La recherche des sources de la pensée produit un effet libérateur. — 2, 3. On trouve chez Descartes la source de la doctrine d’une science rationnelle et autonome. — 4-7. Cette idée inspire certains essais méthodiques modernes, dont l'origine cartésienne paraît assurée. — 8. En revanche, l’évidence géométrique a perdu son fondement traditionnel avec la découverte des géométrics non euclidiennes. — 9. A la certitude totale se substitue la vérité pratiquement assurée. — 10. Le sens d’aucune notion n’est fixé (...) d’une manière immuable. — 11. La connaissance n’est pas nécessairement univoque. — 12. La connaissance n’est pas purement rationnelle, — 13. même la connaissance mathématique. — 14. La nouvelle méthode part d’une sorte d’évidence qui ne s’attache pas à une notion prise à part et qui peut s’énoncer ainsi: L’unité de la connaissance scientifique consiste en ce que chaque partie en reflètele tout. (shrink)

Le but principal de la communication est d’esquisser les traits essentiels de la méthode appliquée dans les sciences déductives.1. A quoi tend la méthode déductive? Termes primitifs et définis ; axiomes et théorèmes. Les sciences antérieures à une science donnée. La méthode déductive considérée comme propriété caractéristique des mathématiques.2. Liberté dans le choix des termes primitifs et des axiomes ; notion d’équivalence de deux systèmes de termes ou de propositions.Postulats d’indépendance des termes primitifs et des axiomes.3. Postulats de la formalisation (...) des définitions et des démonstrations. Règles de définition et de démonstration ; les démonstrations complètes ; les sciences déductives formalisées. Le rôle de la logique mathématique au point de vue des nouvelles exigences méthodologiques.4. Les notions de science non-contradictoire et complète. L’importance théorique de ces notions ; leur rapport avec le problème de la vérité des mathématiques. Pourquoi les notions en question n’exercent pas en pratique une grande influence sur la construction des sciences mathématiques.5. Certaines propriétés des sciences mathématiques découlant d’une application conséquente de la méthode déductive.ion du sens des termes primitifs dans la construction de la science. Modèles et interprétations du système d’axiomes. Concept de système formel. Valeur de la méthode déductive du point de vue de l’économie de la pensée. (shrink)