L’histoire des mathématiques présente une singularité qui a souvent été remarquée par les historiens : contrairement à la physique, cette histoire ne procède pas essentiellement par conjectures et réfutations, mais par une succession d’enchaînements intégrant le passé dans le présent en le réinterprétant. Cette opération implique un acte de lecture du passé par le présent. En partant des thèses de Husserl dans L’origine de la géométrie sur le rôle de l’écriture dans l’historicité des mathématiques, l’article analyse les conditions (...) de possibilité de cette lecture, liées à la nature du texte mathématique : cette dernière doit être pensée à partir de trois partages opérés par le regard du lecteur : entre le vrai et le faux, entre l’écriture et l’image, entre ce qui est mathématique et ce qui n’en relève pas. L’article prend pour exemple le statut de l’équation dans la Géométrie de Descartes. Il montre la solidarité profonde entre cette dernière et les idées que développe le philosophe sur la lecture et la nature du signe. Et il met en évidence comment il est possible à partir de ces idées de reconstituer la manière dont Descartes pouvait lire un texte mathématique, et de comprendre en quoi cela a déterminé en partie ses conceptions dans sa Géométrie, mais aussi en quoi d’autres lectures de la Géométrie peuvent l’insérer dans les mathématiques des siècles ultérieurs. (shrink)

Johann Jakob Wagner (1775-1841), disciple de Schelling et important acteur de la Naturphilosophie allemande, publie en 1803 un ouvrage intitulé Von der Natur der Dinge où il lance le projet d’une réforme de la mathématique visant à l’intégrer à la philosophie. Il provoque ainsi un débat animé dans lequel divers acteurs, scientifiques et philosophes, vont exprimer leur point de vue sur la relation entre les deux disciplines. Nous nous intéresserons en particulier à la réponse de Johann Schön (1771-1839), un mathématicien (...) qui publie l’année suivante un livre aujourd’hui oublié dans lequel il rejette vigoureusement le projet de Wagner. L’analyse de ce débat aide, dans le contexte des réformes universitaires du début du xixe, à comprendre l’histoire de l’émergence en Allemagne d’une discipline mathématique autonome, ainsi que l’apparition de nouvelles problématiques autour de l’axiomatisation et de la systématique. (shrink)

L’article est une exploration systématique de la dualité des figures du Mind et du Geist, le premier étant entendu comme l’esprit en tant que partie de la nature scientifiquement objectivable, le second comme l’esprit en tant qu’acteur immatériel insaisissable de la pensée. De plus, cette dualité est étudiée du point de vue de l’interférence de la mathématique avec elle, dans plusieurs contextes. Sont ainsi successivement analysés : le conflit entre les deux « modèles » du Mind, le computationnaliste et le (...) dynamiciste; la définition philosophique et la définition épistémologique du Geist ; le jeu entre Mind et Geist dans les recherches cognitives contemporaines ; l’ambivalence de la logique et des mathématiques vis-à-vis de l’opposition Mind/Geist. Dans la partie finale, on propose une définition personnelle du Geist–en termes d’adresse et de sujet–dont dérive une détermination du Mind. Revenant sur ces nouvelles bases à l’interférence avec la mathématique, on conclut sur la question essentielle et délicate de la paramétrisation de la conscience. (shrink)

L’article examine le problème des restrictions qu’il faut apporter à la loi des trois états : la loi du développement de l’esprit est-elle valable à tous les degrés de l’échelle hiérarchique? Ou bien la mathématique fait-elle exception à la loi historique? La réponse apportée par Brentano est assez surprenante et semble même contradictoire. Dans certains textes, il soutient que la mathématique est soumise au même régime que les autres branches du savoir ; et que si restriction il y a, ces (...) restrictions doivent être pensées avec Comte, et non pas contre lui. Dans d’autres textes, Brentano semble se ranger à la position critique de J. S. Mill. Comment concilier ces affirmations apparemment contradictoires? On se propose de répondre à cette question en montrant que la position de Brentano a évolué au tournant des années 1870, et en indiquant le rôle de la nouvelle classification des sciences dans cette évolution. (shrink)

Reviewed by F. PATRAS, Laboratoire J.-A. Dieudonné, Université Côte d'Azur and CNRS, Nice, France. [email protected] those who are interested in Husserl’s philosophy of mathematics and its links w...

Les Principes de la connaissance humaine sont l'occasion pour Berkeley de nier l'existence des idées générales abstraites. Il admet cependant l'existence d'idées générales, plus exactement d'idées déterminées à signification générale. C'est ainsi qu'il peut rendre compte de la généralité de certaines démonstrations. L'exemple choisi est celui de l'idée de triangle dans le cadre d'une démonstration géométrique. Mais peut-on également rendre compte de cette manière des démonstrations et des idées algébriques et notamment celle de quantité? In the Principles of human knowledge, (...) Berkeley clearly denies the existence of abstract general ideas. He assumes, however, the existence of general ideas or, more exactly, of determinate ideas with a general meaning. In this way, he explains the generality of certain demonstrations. He chooses the example of the idea of a triangle within a geometrical demonstration. But can he likewise account for algebraic demonstrations and ideas, and in particular for the idea of quantity? (shrink)

RésuméL'auteur rappelle tout d'abord que, sous le měme titre, il a publié en 1936 un ouvrage qui vient d'ětre rééditéà la Librairie A. Blanchard.Dans un premier chapitre, l'auteur compare certains titres de cet ouvrage avec ceux proposés par les rapporteurs du colloque. Les deuxième et troisième chapitres posent la question de l'autonomie totale des mathématiques telle que les recherches formalistes l'ont abordée à travers certaines études récentes et concluent à l'impossibilité d'une autonomie totale.En conclusion, l'exercice des mathématiques se (...) présente comme une synthèse dialectique entre trois aspects irréductibles entre eux, l'aspect théorique de la conception et de la matière des formes mathématiques, l'aspect expérimental où les formes mathématiques se chargent de leur fonction informationnelle et l'intuition par laquelle se manifeste le pouvoir de création de la personne mathématicienne. (shrink)

Les mathématiques peuvent-elles s'appliquer avec succès en philosophie et dans les sciences humaines? Sont-elles, au contraire, réservées au physicien? Loin de se laisser abuser par les discours qui ne voient dans les mathématiques qu'un moyen de sélection et de contrôle, ou un simple langage au service de l'interrogation de la nature, le texte suggère que la véritable puissance de la discipline est à chercher dans son pouvoir d'exprimer la cohérence du monde, grâce à des modèles qui résument les (...) situations et en révèlent l'essence. En ce sens, les mathématiques intéressent le philosophe - non comme objet épistémologique, mais comme outil systématique. Le mathématicien, quant à lui, trouvera ici réunies un ensemble d'informations inédites sur l'origine philosophique des structures qu'il utilise quotidiennement. (shrink)

Cet article se propose d’étudier le concept de « mathématique universelle », apparue chez des philosophes comme Aristote, Jamblique et Proclus, dans son rapport à la mathématique. On essaye notamment de montrer qu’il ne se réduit ni à une interprétation extérieure à la donnée mathématique, ni à une pure et simple référence à une théorie, mais s’appuie sur un problème, celui de l’universalité en mathématiques, qu’il s’agit de reconstituer.

Résumé Il est courant d’inscrire Leibniz dans une lignée qui, passant par Nicolas de Cues et Giordano Bruno, aurait marqué le triomphe de l’infini actuel dans la pensée moderne, qu’elle soit scientifique ou métaphysique. Pourtant Leibniz n’acceptait nullement un tel infini en mathématiques et s’en est expliqué à diverses reprises de manière particulièrement claire. Dans cet article, je voudrais rappeler cette position élaborée dès le début du séjour parisien (Accessio ad Arithmeticam infinitorum, fin 1672) et montrer son effectivité dans (...) l’élaboration du « fictionalisme » leibnizien en ce qui concerne les infiniment petits. Rappelant les différentes stratégies de comparaison entre les pensées de Leibniz et Nicolas de Cues, je voudrais indiquer la manière dont des textes récemment édités permettent aujourd’hui une meilleure appréciation de l’écart qui peut les séparer. (shrink)

« On Mathematical Concepts of the Material World » a pour objet la revue systématique des formes mathématiques que les théories physiques possibles revêtiraient si elles exprimaient les relations entre entités réelles dans un univers en devenir. Songeant à l’unification des lois de l’électricité et du magnétisme que les équations de Maxwell réalisent, Whitehead fait un pas de plus et imagine l’unification des lois de l’électromagnétisme et de la gravité : les lois ultimes de l’univers « ne présupposeraient pas (...) la géométrie, elles la créeraient ». L’esprit n’a pas à élaborer par lui-même la mathématisation du réel, mais à percevoir l’armature mathématique cachée du monde de l’expérience. Il n’y a donc pas à disjoindre science et perception mais à réveiller dans l’acte de percevoir les relations mathématiques dormantes.The object of « On Mathematical Concepts of the Material World » is to review systematically the mathematical forms that possible theories in physics would take on if they expressed the relationship between real entities in an evolving universe. Referring to how Maxwell brought together the laws of electricity and of magnetism Whitehead went one step further and imagined the unification of electromagnetism and gravity laws : the ultimate laws of the universe « would not presuppose geometry but create it ». The function of the spirit is not to construct the mathematisation of reality alone, but to perceive its hidden mathematical framework. It should not separate science and perception but, in the act of perception, awake sleeping mathematical relationships. (shrink)

I offer a critical analysis of a contemporary work in analytic philosophy applied to epistemology of logic and mathematics. I discuss the reach and limits of Paolo Mancosu’s work, as recently published in a French translation.

Dans cet article sont menées deux réflexions. La première tente de juger du rapport de la philosophie à sa textualisation d’après le rapport des mathématiques à leur textualisation, et ce à trois niveaux : 1) en essayant de tirer des manières dont le texte mathématique excède sa forme logique des enseignements quant à la pertinence et la viabilité d’une réduction du texte philosophique à sa forme logique ; 2) en posant le problème d’une étude externaliste du texte philosophique à (...) la lumière des difficultés particulières que suscite l’approche externaliste du texte mathématique ; 3) en examinant ce qu’il en est de l’hybridation du philosophique et du mathématique dans certains textes. La seconde porte sur un aspect particulier de la textualisation : sur l’intervention du marqueur du sujet de l’énonciation (« Je ») dans les textes philosophiques. (shrink)

Le choix de définitions « naturelles » ou « correctes » est un aspect fondamental de la recherche mathématique qui a été négligé dans l’étude de la connaissance mathématique. L’une des raisons qui expliquent cet abandon tient au sentiment qu’ont eu de nombreux auteurs que la préférence pour une définition au détriment d’une autre ne pouvait être que « simplement psychologique » ou « subjective » en sorte que de tels jugements ne pouvaient pas être philosophiquement intéressants. Je discute ici (...) d’un sens minimal du terme « objectif » selon lequel on pourrait de manière défendable argumenter que de tels choix de définitions préférées sont objectivement corrects, en dépit des raisons apparemment « esthétiques » qui soutiennent un tel jugement.Choosing « natural » or « correct » definitions is a fundamental aspect of mathematical research that has been neglected in studies of mathematical knowledge. One reason for this neglect may be a sense that many writers seem to have that a preference for one definition over another can only be « merely psychological » and « subjective » in a way that prevents such judgments from being philosophically interesting. I discuss a minimal sense of « objective » according to which such choices of preferred definitions can be defensibly argued to be objectively correct, despite the seemingly « aesthetic » grounds for the judgement. (shrink)

In Résolution des quatre principaux problèmes d’architecture (1673) then in Cours d’architecture (1683), the architect–mathematician Nicolas-François Blondel addresses one of the most famous architectural problems of all times, that of the reduction in columns (entasis). The interest of the text lies in the variety of subjects that are linked to this issue. (1) The text is a response to the challenge launched by Curabelle in 1664 under the name Étrenne à tous les architectes; (2) Blondel mathematicizes the problem in the (...) “style of the Ancients”; (3) The problem is reformulated and solved through the continuous drawing of the curve; (4) Blondel refutes the uniqueness of the curve by enumerating a variety of solutions (conchoid, spiral, parabola, ellipse, circle, hyperbola). This exuberance responds to an intention that does not coincide with the state of the art of mathematics at the end of the seventeenth century, nor with the taste for geometry of the Ancients, nor with any pedagogical project. This feature is explained by Blondel’s plan to found architecture on scientific bases. The reasons for his failure are analysed. (shrink)

Nous étudions l’apparition des monstres en mathématiques (comme, par exemple, le monstre dit de Weierstrass — une fonction continue qui n’est différentiable en aucun point) au XIXe siècle. Nous traitons aussi la question : comment peut-on distinguer les mathématiques normales (ou naturelles) des mathématiques pathologiques?